《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。在封闭的鳖臑P - ABC内有一个体积为V的球，若$PA\perp$平面ABC，$AB\perp BC$，$PA = AB = BC = 1$，则V的最大值是 ( )
A. $\frac{5\sqrt{2}+3}{6}\pi$
B. $\frac{5\pi}{3}$
C. $\frac{5\sqrt{2}-7}{6}\pi$
D. $\frac{32\pi}{3}$

答案： C　球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，设此时球的半径为 R，则 V三棱锥P - ABC = $\frac{1}{3}$·R·(S△ABC + S△PAB + S△PAC + SPBC)，即 $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1 = $\frac{1}{3}$×R×($\frac{1}{2}$×1×1 + $\frac{1}{2}$×1×1 + $\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$ + $\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$)，解得 R = $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$.所以球的体积 V 的最大值为 $\frac{4}{3}$π($\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$)³ = $\frac{5\sqrt{2} - 7}{6}$π.

类型三 与外接球有关的最值问题
[例7](2023·昆明模拟)四棱锥S - ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于$8 + 8\sqrt{3}$，则球O的体积等于 ( )
A. $\frac{32\pi}{3}$
B. $\frac{32\sqrt{2}\pi}{3}$
C. 16π
D. $\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}$

答案： A　设球 O 的半径为 R，四棱锥 S - ABCD 的高为 h，则有 h≤R，即 h 的最大值是 R，易得 AB = $\sqrt{2}$R，所以四棱锥 S - ABCD 的体积 VS - ABCD = $\frac{1}{3}$×2R²h≤$\frac{2R³}{3}$.因此，当 h = R 时，四棱锥 S - ABCD 的体积最大，其表面积等于($\sqrt{2}$R)² + 4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$R×$\sqrt{(\frac{\sqrt{2}R}{2})² + R²}$ = 8 + 8$\sqrt{3}$，解得 R = 2，因此球 O 的体积为 $\frac{4πR³}{3}$ = $\frac{32π}{3}$.

对点训练
(2023·成都模拟)已知圆柱的两个底面圆周在体积为$\frac{32\pi}{3}$的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 ( )
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π

答案： B　方法一：设球的半径为 R，由球的体积公式得 $\frac{4}{3}$πR³ = $\frac{32π}{3}$，得 R = 2.设圆柱的底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为α(0 ＜ α ＜ $\frac{π}{2}$)，则 r = 2cosα，所以圆柱的高为 4sinα，所以圆柱的侧面积为 4πcosα×4sinα = 8πsin2α，当且仅当 sin2α = 1，即α = $\frac{π}{4}$时，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为 8π.
方法二：设球的半径为 R，由球的体积公式 $\frac{4}{3}$πR³ = $\frac{32π}{3}$，得 R = 2.设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 r² + ($\frac{h}{2}$)² = R² = 4，所以 r² + $\frac{h²}{4}$ = 4≥2$\sqrt{r²·\frac{h²}{4}}$ = hr，即 hr≤4，当且仅当 r = $\frac{h}{2}$ = $\sqrt{2}$时等号成立，所以圆柱的侧面积 S = 2πrh≤8π，所以圆柱的侧面积的最大值为 8π.

1. 空间向量有关概念
（1）单位向量：模为__________的向量.
（2）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线____________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
（3）共面向量：________于同一个平面的向量.

答案： 答案:1
@@答案:互相平行或重合
@@答案:平行

2. 空间向量有关定理
（1）共线向量定理：对空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ，使__________.
（2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使________________. {a，b，c}叫做空间的一个________.

答案： 答案:a = λb
@@答案:p = xa + yb + zc 基底