《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个不等式$a^{2}+b^{2}\geq2ab$与$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$成立的条件是相同的。 （ ）
（2）函数$y = x+\frac{1}{x}(x＞0)$的最小值是2。 （ ）
（3）函数$f(x)=\sin x+\frac{4}{\sin x}$的最小值为4。 （ ）
（4）$x＞0$且$y＞0$是$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2$的充分不必要条件。 （ ）

答案： 1. 提示：
(1)×. 不等式$a^{2}+b^{2}\geqslant2ab$成立的条件是$a,b\in\mathbf{R}$；不等式$\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$成立的条件是$a＞0,b＞0$，故
(1)不正确.
(2)√. 由基本不等式可知$y = x+\frac{1}{x}\geqslant2$，当且仅当$x = 1$时等号成立，故
(2)正确.
(3)×. 函数$f(x)=\sin x+\frac{4}{\sin x}$没有最小值.
(4)√. 由$x＞0$且$y＞0$可以得到$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2$，反之不成立，所以$x＞0$且$y＞0$是$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2$的充分不必要条件.

2.（忽视等号成立的条件）函数$y = x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-2(-1＜x＜0)$的值域为 （ ）
A. $\{y|y＞2\}$ B. $\{y|y\geq2\}$
C. $\{y|y\geq3\}$ D. $\{y|y＞3\}$

答案： 2. D 令$t = x^{2},0＜t\leqslant1$，所以$y = x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-2=t+\frac{4}{t}-2$，因为对勾函数$y = t+\frac{4}{t}$在$0＜t＜1$上单调递减，且没有最大值，所以$y = t+\frac{4}{t}＞1+\frac{4}{1}=5$，所以$y = x^{2}+\frac{4}{x^{2}}-2＞5 - 2 = 3$.

.（多选题）（2022·新高考Ⅱ卷）若$x,y$满足$x^{2}+y^{2}-xy = 1$，则 （ ）
A. $x + y\leq1$ B. $x + y\geq - 2$
C. $x^{2}+y^{2}\leq2$ D. $x^{2}+y^{2}\geq1$

答案： 3. BC 因为$ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^{2}\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2}(a,b\in\mathbf{R})$，由$x^{2}+y^{2}-xy = 1$可变形为$(x + y)^{2}-1 = 3xy\leqslant3(\frac{x + y}{2})^{2}$，解得$-2\leqslant x + y\leqslant2$，当且仅当$x = y=-1$时，$x + y=-2$，当且仅当$x = y = 1$时，$x + y = 2$，所以 A 错误，B 正确；由$x^{2}+y^{2}-xy = 1$可变形为$(x^{2}+y^{2})-1 = xy\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$，解得$x^{2}+y^{2}\leqslant2$，当且仅当$x = y=\pm1$时取等号，所以 C 正确；因为$x^{2}+y^{2}-xy = 1$变形可得$(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^{2}=1$，设$x-\frac{y}{2}=\cos\theta,\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin\theta$，所以$x=\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta,y=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta$，因此$x^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\frac{5}{3}\sin^{2}\theta+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta\cos\theta=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin2\theta-\frac{1}{3}\cos2\theta+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sin(2\theta-\frac{\pi}{6})\in[\frac{2}{3},2]$，所以$x^{2}+y^{2}\geqslant1$不成立，所以 D 错误.

4.（人A必修第一册P48习题2.2T1(2)变条件）函数$y = x(3 - 2x)(0\leq x\leq1)$的最大值是__________。

答案： 4.【解析】因为$0\leqslant x\leqslant1$，所以$3 - 2x＞0$，所以$y=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(3 - 2x)\leqslant\frac{1}{2}[\frac{2x+(3 - 2x)}{2}]^{2}=\frac{9}{8}$，当且仅当$2x = 3 - 2x$，即$x=\frac{3}{4}$时，等号成立.
答案：$\frac{9}{8}$

角度1 直接法
[例1]（1）（2024·滨州模拟）若$x＞0$，则$f(x)=4x+\frac{9}{x}$的最小值为 （ ）
A. 4
B. 9
C. 12
D. 21

答案： [例 1]
(1)C 因为$x＞0$，由基本不等式得：$f(x)=4x+\frac{9}{x}\geqslant2\sqrt{4x\cdot\frac{9}{x}}=12$，当且仅当$4x=\frac{9}{x}$，即$x=\frac{3}{2}$时等号成立，即$f(x)_{\min}=12$.

（2）已知$a,b\in\mathbf{R}$，且$2a - b - 2 = 0$，则$9^{a}+\frac{1}{3^{b}}$的最小值为 （ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案：
(2)C 因为$2a - b - 2 = 0$，所以$2a - b = 2$，因为$3^{2a}＞0,3^{-b}＞0$，所以$9^{a}+\frac{1}{3^{b}}=3^{2a}+3^{-b}\geqslant2\sqrt{3^{2a}\times3^{-b}}=2\sqrt{3^{2a - b}}=2\sqrt{3^{2}}=6$，当且仅当$\begin{cases}3^{2a}=3^{-b}\\2a - b = 2\end{cases}$，即$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$时，取等号，故$9^{a}+\frac{1}{3^{b}}$的最小值为 6.

（3）函数$f(x)=\sin x+\frac{4}{\sin x}$的最小值为4。（ ）

答案： 1. 提示：
(3)×. 函数$f(x)=\sin x+\frac{4}{\sin x}$没有最小值.

（4）$x＞0$且$y＞0$是$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2$的充分不必要条件。（ ）

答案： 1. 提示：
(4)√. 由$x＞0$且$y＞0$可以得到$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2$，反之不成立，所以$x＞0$且$y＞0$是$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2$的充分不必要条件.

角度2 配凑法
[例2]（1）若$x＜\frac{2}{3}$，则$f(x)=3x + 1+\frac{9}{3x - 2}$有 （ ）
A. 最大值0
B. 最小值9
C. 最大值 - 3
D. 最小值 - 3

答案： [例 2]
(1)C 因为$x＜\frac{2}{3}$，所以$3x - 2＜0$，$f(x)=3x - 2+\frac{9}{3x - 2}+3=-[(2 - 3x)+\frac{9}{2 - 3x}]+3\leqslant-2\sqrt{(2 - 3x)\cdot\frac{9}{2 - 3x}}+3=-3$.当且仅当$2 - 3x=\frac{9}{2 - 3x}$，即$x=-\frac{1}{3}$时，取“=”.

（2）已知$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$x\sqrt{1 - 2x^{2}}$的最大值为______________。

答案：
(2)【解析】因为$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$1 - 2x^{2}＞0$，$x\sqrt{1 - 2x^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}x\sqrt{1 - 2x^{2}}\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2x^{2}+1 - 2x^{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当$2x^{2}=1 - 2x^{2}$，即$x=\frac{1}{2}$时等号成立.
答案：$\frac{\sqrt{2}}{4}$