《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1. 已知平面内两定点$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$，下列条件中满足动点$P$的轨迹为双曲线的是（ ）
A. $|PF_1| - |PF_2| = \pm 7$
B. $|PF_1| - |PF_2| = \pm 6$
C. $|PF_1| - |PF_2| = \pm 4$
D. $|PF_1|^2 - |PF_2|^2 = \pm 6$

答案： 1. C 由题意,因为$\vert F_{1}F_{2}\vert = 6$,所以由双曲线的定义知,当$0＜\vert\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert\vert＜6$时,动点P的轨迹为双曲线.

2.（2024·南昌模拟）已知$F_1$，$F_2$分别为双曲线$\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$的左、右焦点，$P(3,1)$为双曲线内一点，点$A$在双曲线的右支上，则$|AP| + |AF_2|$的最小值为（ ）
A. $\sqrt{37} + 4$
B. $\sqrt{37} - 4$
C. $\sqrt{37} - 2\sqrt{5}$
D. $\sqrt{37} + 2\sqrt{5}$

答案：
2. C 因为$\vert AP\vert+\vert AF_{2}\vert=\vert AP\vert+\vert AF_{1}\vert - 2\sqrt{5}$,所以要求$\vert AP\vert+\vert AF_{2}\vert$的最小值,只需求$\vert AP\vert+\vert AF_{1}\vert$的最小值.如图,连接$F_{1}P$交双曲线的右支于点$A_{0}$.当点A位于点$A_{0}$处时, $\vert AP\vert+\vert AF_{1}\vert$最小,最小值为$\vert PF_{1}\vert=\sqrt{(3 - (-3))^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$.故$\vert AP\vert+\vert AF_{2}\vert$的最小值为$\sqrt{37}-2\sqrt{5}$.

[例2]（2024·武汉模拟）已知点$F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$，曲线上的动点$P$到$F_1$，$F_2$的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1(x ＞ 0)$
B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$
C. $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1(y ＞ 0)$
D. $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$

答案： [例2]A 由题意可得$\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert = 6＜\vert F_{1}F_{2}\vert = 8$,由双曲线定义可知,所求曲线方程为双曲线的一支,且$2a = 6$,$2c = 8$,即$a = 3$,$c = 4$,所以$b^{2}=c^{2}-a^{2}=16 - 9 = 7$.又因为焦点在x轴上,所以曲线方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1(x＞0)$.

[例3]（1）（2024·成都模拟）已知直线$y = \sqrt{2}x$是双曲线$C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的一条渐近线，且点$(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$在双曲线$C$上，则双曲线$C$的方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1$
B. $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$
C. $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{12} = 1$
D. $\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{24} = 1$
（2）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的左焦点为$F$，离心率为$\sqrt{2}$. 若经过$F$和$P(0,4)$两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$
B. $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$
C. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$
D. $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1$

答案： [例3]
(1)C 由双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$,则其渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$,由题意可得:$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$,整理可得$b=\sqrt{2}a$,将$(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$代入双曲线方程可得$\frac{12}{a^{2}}-\frac{12}{2a^{2}} = 1$,解得$a^{2}=6$,$b^{2}=12$,所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{12}=1$.
(2)B 由离心率为$\sqrt{2}$,可知$a = b$,$c=\sqrt{2}a$,所以$F(-\sqrt{2}a,0)$,由题意知$k_{PF}=\frac{4 - 0}{0 - (-\sqrt{2}a)}=\frac{4}{\sqrt{2}a}=1$,所以$\sqrt{2}a = 4$,解得$a = 2\sqrt{2}$,所以双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$.

对点训练
1.（2021·北京高考）双曲线$C:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$过点$(\sqrt{2},\sqrt{3})$，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$
B. $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$
C. $x^2 - \frac{\sqrt{3}y^2}{3} = 1$
D. $\frac{\sqrt{3}x^2}{3} - y^2 = 1$

答案： 1. A 由$e=\frac{c}{a}=2$,得$c = 2a$,$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}a$,则双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1$,将点$(\sqrt{2},\sqrt{3})$的坐标代入双曲线的方程可得$\frac{2}{a^{2}}-\frac{3}{3a^{2}} = 1$,解得$a = 1$,故$b=\sqrt{3}$,因此双曲线的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.

2. 在平面直角坐标系中，已知圆$M:(x + 2)^2 + y^2 = 12$，点$N(2,0)$，$Q$是圆$M$上任意一点，线段$NQ$的垂直平分线与直线$MQ$相交于点$P$，设点$P$的轨迹为曲线$E$，则曲线$E$的方程为__________.

答案： 2.[解析]因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以$\vert PQ\vert=\vert PN\vert$,所以$\vert\vert PM\vert-\vert PN\vert\vert=\vert\vert PM\vert-\vert PQ\vert\vert = r = 2\sqrt{3}＜\vert MN\vert = 4$,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,$2\sqrt{3}$为实轴长的双曲线,则$c = 2$,$a=\sqrt{3}$,得$b = 1$,所以曲线E的方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$