《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.(必修第二册P31例7·变条件)已知 $a=(4,2)$，$b=(3,y)$，且 $a// b$，则 $y$的值为 (　　　)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6
D.$\frac{8}{3}$

答案： B 因为 $a// b$，所以 $4y = 2×3$，所以 $y=\frac{3}{2}$.

3.(2023·上海高考)已知向量 $a=(3,4)$，$b=(1,2)$，则 $a - 2b=$______________.

答案： 【解析】因为向量 $a=(3,4)$，$b=(1,2)$，所以 $a - 2b=(3 - 2×1,4 - 2×2)=(1,0)$. 答案：$(1,0)$

4.(忽视共线包括两种情况致误)已知 $A(-3,4)$与 $B(-1,2)$，点 $P$在直线 $AB$上，且 $\vert\overrightarrow{AP}\vert = 2\vert\overrightarrow{PB}\vert$，则点 $P$的坐标为__________.

答案： 【解析】由点 $P$ 在直线 $AB$ 上，且 $|\overrightarrow{AP}| = 2|\overrightarrow{PB}|$，可得 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 或 $\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{PB}$. 当 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$ 时，设 $P(a,b)$，则 $(a + 3,b - 4)=2(-1 - a,2 - b)$，解得 $a=-\frac{5}{3}$，$b=\frac{8}{3}$，此时点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{5}{3},\frac{8}{3})$. 当 $\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{PB}$ 时，设 $P(m,n)$，则 $(m + 3,n - 4)=-2(-1 - m,2 - n)$，解得 $m = 1$，$n = 0$，此时点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$. 综上，点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{5}{3},\frac{8}{3})$ 或 $(1,0)$. 答案：$(-\frac{5}{3},\frac{8}{3})$ 或 $(1,0)$

[例1](1)(多选题)如图，正方形 $ABCD$中，$E$为 $AB$中点，$M$为线段 $AD$上的动点，若 $\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{BE}+\mu\overrightarrow{BD}$，则 $\lambda+\mu$的值可以是 (　　　)
A.$\frac{3}{2}$ B.$\frac{1}{2}$ C.1 D.2
　　　
(2)如图，以向量 $\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$为邻边作平行四边形 $OADB$，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，则 $\overrightarrow{MN}=$__________.(用 $a$，$b$表示)
　　　

答案：
(1)ACD 因为 $M$ 在线段 $AD$ 上，设 $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AD}$，其中 $0\leqslant k\leqslant 1$，则 $\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=k(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA})$，所以 $\overrightarrow{BM}=(1 - k)\overrightarrow{BA}+k\overrightarrow{BD}$，因为 $E$ 为 $BA$ 的中点，则 $\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BE}$，所以 $\overrightarrow{BM}=2(1 - k)\overrightarrow{BE}+k\overrightarrow{BD}$，又因为 $\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{BE}+\mu\overrightarrow{BD}$，且 $\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BD}$ 不共线，则 $\begin{cases}\lambda = 2(1 - k)\\\mu = k\end{cases}$，所以 $\lambda+\mu = 2(1 - k)+k = 2 - k\in[1,2]$.
(2)【解析】因为 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=a - b$，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{6}a-\frac{1}{6}b$，所以 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}=b+(\frac{1}{6}a-\frac{1}{6}b)=\frac{1}{6}a+\frac{5}{6}b$. 因为 $\overrightarrow{OD}=a + b$，所以 $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b$. 所以 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{1}{6}a-\frac{5}{6}b=\frac{1}{2}a-\frac{1}{6}b$. 答案：$\frac{1}{2}a-\frac{1}{6}b$

1.(多选题)如图，在 $\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$，$E$是线段 $BC$上的点，且满足 $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，线段 $CD$与线段 $AE$交于点 $F$，则下列结论正确的是 (　　　)
A.$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ B.$3\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{CF}$
C.$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ D.$4\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AE}$
　　　 　　　

答案： ACD 由题意，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，故选项 A 正确；由 $\overrightarrow{AF}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 共线，可得 $\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AE}=\lambda(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC})=\frac{\lambda}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2\lambda}{3}\overrightarrow{AC}$，由 $C$，$F$，$D$ 三点共线，得 $\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AD}+(1 - t)\overrightarrow{AC}=\frac{t}{2}\overrightarrow{AB}+(1 - t)\overrightarrow{AC}$，由平面向量基本定理，可得 $\begin{cases}\frac{\lambda}{3}=\frac{t}{2}\\\frac{2\lambda}{3}=1 - t\end{cases}$，解得 $\begin{cases}\lambda=\frac{3}{4}\\t=\frac{1}{2}\end{cases}$，所以 $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$，$4\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AE}$，故选项 C，D 正确；由 $C$，$F$，$D$ 三点共线，得 $\overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{DF}$，即 $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=k(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD})$，化简为 $(1 - k)\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AD}$，由选项 C 可得，$(1 - k)(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AC}-\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}$，由平面向量基本定理得，$\begin{cases}\frac{1 - k}{4}=-\frac{k}{2}\\\frac{1 - k}{2}=1\end{cases}$，解得 $k = - 1$，所以 $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{DF}$，即 $DF = CF$，故选项 B 错误.

2.(2023·北京模拟)已知三角形 $ABC$中，$D$为 $BC$的中点，$E$为 $AB$上一点，若 $\overrightarrow{ED}=\lambda\overrightarrow{AB}+3\lambda\overrightarrow{AC}(0\lt\lambda\lt1)$，那么 $\frac{AE}{AB}=$______________.

答案： 【解析】设 $\overrightarrow{AE}=\mu\overrightarrow{AB}(0\leqslant\mu\leqslant 1)$，因为 $D$ 为 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，所以 $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\mu\overrightarrow{AB}=(\frac{1}{2}-\mu)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. 因为 $\overrightarrow{ED}=\lambda\overrightarrow{AB}+3\lambda\overrightarrow{AC}(0\lt\lambda\lt 1)$，所以 $\begin{cases}\frac{1}{2}-\mu=\lambda\\\frac{1}{2}=3\lambda\end{cases}$，解得 $\begin{cases}\lambda=\frac{1}{6}\\\mu=\frac{1}{3}\end{cases}$，所以 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，所以 $\frac{|\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{3}$，所以 $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$. 答案：$\frac{1}{3}$

[例2](1)已知 $a=(5,-2)$，$b=(-4,-3)$，若 $a - 2b + 3c = 0$，则 $c=$ (　　　)
A. $(\frac{13}{3},\frac{8}{3})$ B. $(-\frac{13}{3},-\frac{8}{3})$
C. $(\frac{13}{3},\frac{4}{3})$ D. $(-\frac{13}{3},-\frac{4}{3})$
(2)已知向量 $a$，$b$满足 $2a - b=(0,3)$，$a - 2b=(-3,0)$，$\lambda a+\mu b=(-1,1)$，则 $\lambda+\mu=$ (　　　)
A. -1 B.0 C.1 D.25
(3)如图，已知平行四边形 $ABCD$的三个顶点 $B$，$C$，$D$的坐标分别是 $(-1,3)$，$(3,4)$，$(2,2)$，
　　　
则向量 $\overrightarrow{BC}=$______；顶点 $A$的坐标为______.

答案：
(1)D 因为 $a - 2b + 3c = 0$，所以 $c=-\frac{1}{3}(a - 2b)=-\frac{1}{3}(5 + 4×2,-2+2×3)=(-\frac{13}{3},-\frac{4}{3})$.
(2)B 设 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，又 $2a - b=(0,3)$，$a - 2b=(-3,0)$，所以 $\begin{cases}2x_1 - x_2 = 0\\2y_1 - y_2 = 3\end{cases}$，且 $\begin{cases}x_1 - 2x_2 = - 3\\y_1 - 2y_2 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x_1 = 1\\y_1 = 2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = 2\\y_2 = 1\end{cases}$，即 $a=(1,2)$，$b=(2,1)$，所以 $\lambda a+\mu b=\lambda(1,2)+\mu(2,1)=(\lambda + 2\mu,2\lambda+\mu)=(-1,1)$，则 $\begin{cases}\lambda + 2\mu = - 1\\2\lambda+\mu = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}\lambda = 1\\\mu = - 1\end{cases}$，故 $\lambda+\mu = 0$.
(3)【解析】因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，且顶点 $B$，$C$ 的坐标分别是 $(-1,3)$，$(3,4)$，所以 $\overrightarrow{BC}=(3,4)-(-1,3)=(4,1)$；设 $A(x,y)$，又 $D(2,2)$，所以 $\overrightarrow{AD}=(2 - x,2 - y)$，又 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，所以 $(2 - x,2 - y)=(4,1)$，即 $\begin{cases}2 - x = 4\\2 - y = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = - 2\\y = 1\end{cases}$，所以顶点 $A$ 的坐标为 $(-2,1)$. 答案：$(4,1)$ $(-2,1)$