《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)$f^{\prime}(x_0)$是函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的瞬时变化率. （ ）
(2)函数$f(x)=\sin(-x)$的导数$f^{\prime}(x)=\cos x$. （ ）
(3)求$f^{\prime}(x_0)$时，可先求$f(x_0)$，再求$f^{\prime}(x_0)$. （ ）
(4)曲线$y = f(x)$在某点处的切线与曲线$y = f(x)$过某点的切线意义是相同的. （ ）

答案： 1. 提示：
(2)$f(x)=\sin(-x)=-\sin x$，则$f'(x)=-\cos x$，×
(3)求$f'(x_{0})$时，应先求$f'(x)$，再代入求值，×
(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，×
答案：
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×

2. (2023·全国甲卷)曲线$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{\mathrm{e}}{2})$处的切线方程为（ ）
A. $y=\frac{\mathrm{e}}{4}x$ B. $y=\frac{\mathrm{e}}{2}x$
C. $y=\frac{\mathrm{e}}{4}x+\frac{\mathrm{e}}{4}$ D. $y=\frac{\mathrm{e}}{2}x+\frac{3\mathrm{e}}{4}$

答案： 2. C 设曲线$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为$y-\frac{e}{2}=k(x - 1)$，
因为$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$，
所以$y'=\frac{e^{x}(x + 1)-e^{x}}{(x + 1)^{2}}=\frac{xe^{x}}{(x + 1)^{2}}$，
所以$k=\frac{e}{4}$，所以$y-\frac{e}{2}=\frac{e}{4}(x - 1)$，
所以曲线$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为$y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$

3. (选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f^{\prime}(\frac{\pi}{4})\cos x-\sin x$，则$f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=$______.

答案： 3.【解析】$f'(x)=-f'(\frac{\pi}{4})\sin x-\cos x$，
令$x = \frac{\pi}{4}$，得$f'(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}f'(\frac{\pi}{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$f'(\frac{\pi}{4})=1-\sqrt{2}$
答案：$1-\sqrt{2}$

4. (混淆在点$P$处的切线和过$P$点的切线)已知曲线$y = a\mathrm{e}^{x}+x\ln x$在点$(1,a\mathrm{e})$处的切线方程为$y = 2x + b$，则$a$的值为______；$b$的值为______.

答案： 4.【解析】$y'=ae^{x}+\ln x + 1$，
所以$\begin{cases}ae + 1 = 2\\ae = 2 + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{e}\\b=-1\end{cases}$
答案：$\frac{1}{e}$，$-1$

1. 如图，函数$y = f(x)$在$[x_1,x_2]$，$[x_2,x_3]$，$[x_1,x_3]$，$[x_3,x_4]$这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）
A. $[x_1,x_2]$ B. $[x_2,x_3]$ C. $[x_1,x_3]$ D. $[x_3,x_4]$

答案： 1. D 由平均变化率的定义可知，函数$y = f(x)$在区间$[x_{1},x_{2}],[x_{2},x_{3}],[x_{1},x_{3}],[x_{3},x_{4}]$上的平均变化率分别为$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$，$\frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$，$\frac{f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}$，$\frac{f(x_{4})-f(x_{3})}{x_{4}-x_{3}}$，结合题图可以发现函数$y = f(x)$的平均变化率最大的一个区间是$[x_{3},x_{4}]$

2. (多选题)已知某物体的运动方程为$s(t)=7t^{2}+8(0\leq t\leq5)$，则（ ）
A. 当$1\leq t\leq3$时，该物体的平均速度是28
B. 该物体在$t = 4$时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43
D. 该物体在$t = 5$时的瞬时速度是70

答案： 2. ABD 当$1\leq t\leq3$时，该物体的平均速度是$\frac{s(3)-s(1)}{3 - 1}=\frac{71 - 15}{2}=28$，A正确；
$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{7\times(4+\Delta t)^{2}+8 - 7\times4^{2}-8}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{56\cdot\Delta t+7\cdot(\Delta t)^{2}}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(56 + 7\cdot\Delta t)=56$，B正确；
当$t = 5$时，$s(5)=7\times5^{2}+8 = 183$，C错误；
$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{7\times(5+\Delta t)^{2}+8 - 7\times5^{2}-8}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{70\cdot\Delta t+7\cdot(\Delta t)^{2}}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(70 + 7\cdot\Delta t)=70$，D正确

3. (2023·晋城模拟)若函数$f(x)$在$x = 1$处的导数为2，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{2\Delta x}=$（ ）
A. 2 B. 1 C. $\frac{1}{2}$ D. 6

答案： 3. B 由函数$f(x)$在$x = 1$处的导数为2，得$f'(1)=2$，所以$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{1}{2}f'(1)=1$

4. 已知函数$y = f(x)$，若$f^{\prime}(x_0)=-3$，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$______.

答案： 4.【解析】依题意，得$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f'(x_{0})=-3$
答案：$-3$

5. 如图，函数$f(x)$的图象是折线段$f(x)$，其中$A$，$B$，$C$的坐标分别为$(0,4)$，$(2,0)$，$(6,4)$，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=$______.

答案： 5.【解析】由题图可得在$x\in[0,2]$上，函数图象上每一点处的斜率都是$\frac{4 - 0}{0 - 2}=-2$，由导数的几何意义知$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=-2$
答案：$-2$