《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.一元二次不等式
只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是$ax^{2}+bx + c＞0$或$ax^{2}+bx + c＜0$（$a,b,c$均为常数，$a\neq0$）.

答案： 一 2

3. 三个二次的对应关系（其中$a＞0$）
|判别式$\Delta = b^{2}-4ac$|$\Delta＞0$|$\Delta = 0$|$\Delta＜0$|
|----|----|----|----|
|二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象||
|方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根|有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$|有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$|没有实数根|
|$ax^{2}+bx + c＞0$的解集|____|____|____|
|$ax^{2}+bx + c＜0$的解集|____|$\varnothing$|$\varnothing$|
微点拨：1. 解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.
2. 若关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}+bx + c＜0(a＞0)$的解集为$(m,n)$，则$x = m$与$x = n$为一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a＞0)$的两个根.

答案： $\{x|x ＜ x_1,或x ＞ x_2\}$ $\{x|x \neq -\frac{b}{2a}\}$ $\mathbf{R}$ $\{x|x_1 ＜ x ＜ x_2\}$

4. 简单的绝对值不等式
$|x|＞a(a＞0)$的解集为____，$|x|＜a(a＞0)$的解集为____.

答案： $(-\infty, -a) \cup (a, +\infty)$ $(-a, a)$

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集是$(-\infty,x_{1})\cup(x_{2},+\infty)$，则方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根是$x_{1}$和$x_{2}$. ( )
(2)若不等式$ax^{2}+bx + c＜0$的解集为$(x_{1},x_{2})$，则必有$a＞0$. ( )
(3)不等式$x^{2}\leqslant a$的解集为$[-\sqrt{a},\sqrt{a}]$. ( )
(4)若方程$ax^{2}+bx + c = 0(a＜0)$没有实数根，则不等式$ax^{2}+bx + c＞0(a＜0)$的解集为$\mathbf{R}$. ( )

答案： 提示：
(1)√.
(2)√.
(3)×. 对于不等式$x^2 \leq a$，当$a ＞ 0$时，其解集为$[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$；当$a = 0$时，其解集为$\{0\}$；当$a ＜ 0$时，其解集为$\varnothing$.
(4)×. 若方程$ax^2 + bx + c = 0(a ＜ 0)$没有实数根，则不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0(a ＜ 0)$的解集为$\varnothing$.