《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.等比数列的有关概念
|定义|一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列|
|通项公式|设{aₙ}是首项为a₁，公比为q的等比数列，则通项公式aₙ=____.推广：aₙ=aₘqⁿ⁻ᵐ(m,n∈N⁺)|
|等比中项|如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项.此时，G²=____|

答案： 答案：2 比解析：根据等比数列的定义，一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数（不为零），这个数列叫做等比数列。
@@答案：$a_1q^{n - 1}$解析：等比数列$\{a_n\}$首项为$a_1$，公比为$q$，其通项公式为$a_n=a_1q^{n - 1}$ 。
@@答案：$G$ $ab$解析：如果$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项，根据等比中项的性质有$G^2 = ab$。

2.等比数列的前n项和公式

答案： 答案：$na_1$ $\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ $\frac{a_1 - a_nq}{1 - q}$
解析：当公比$q = 1$时，等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=na_1$；当公比$q\neq1$时，等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}=\frac{a_1 - a_nq}{1 - q}$。

4.等比数列的性质
(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m+n=p+q，则____=____.
特别地，若m+n=2p，则____.
(2)若等比数列前n项和为Sₙ，则Sₘ，S₂ₘ-Sₘ，S₃ₘ-S₂ₘ仍成等比数列(公比q≠-1).
(3)数列{aₙ}是等比数列，则数列{paₙ}(p≠0，p是常数)也是____数列.
(4)在等比数列{aₙ}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即aₙ，aₙ₊ₖ，aₙ₊₂ₖ，aₙ₊₃ₖ，…为等比数列，公比为____.
(5)等比数列{aₙ}的单调性：
当q＞1，a₁＞0或0＜q＜1，a₁＜0时，数列{aₙ}是____数列；
当q＞1，a₁＜0或0＜q＜1，a₁＞0时，数列{aₙ}是____数列；
当q=1时，数列{aₙ}是____.

答案： 答案：
(1)$a_m\cdot a_n$ $a_p\cdot a_q$ $a_m\cdot a_n = a_p^2$
(3)等比
(4)$q^t$
(5)递增　递减　常数列
解析：
(1)在等比数列中，若$m + n = p + q$（$m$，$n$，$p$，$q$为正整数），则$a_m\cdot a_n = a_p\cdot a_q$；特别地，若$m + n = 2p$，则$a_m\cdot a_n = a_p^2$。
(3)若数列$\{a_n\}$是等比数列，对于数列$\{pa_n\}$（$p\neq0$，$p$是常数），$\frac{pa_{n + 1}}{pa_n}=\frac{a_{n + 1}}{a_n}=q$（$q$为$\{a_n\}$的公比），所以$\{pa_n\}$也是等比数列。
(4)在等比数列$\{a_n\}$中，$a_{n + k}=a_nq^k$，$a_{n + 2k}=a_nq^{2k}$，$\cdots$，所以$a_n$，$a_{n + k}$，$a_{n + 2k}$，$a_{n + 3k}$，$\cdots$为等比数列，公比为$q^k$。
(5)当$q＞1$，$a_1＞0$或$0＜q＜1$，$a_1＜0$时，后一项比前一项大，数列$\{a_n\}$是递增数列；当$q＞1$，$a_1＜0$或$0＜q＜1$，$a_1＞0$时，后一项比前一项小，数列$\{a_n\}$是递减数列；当$q = 1$时，每一项都相等，数列$\{a_n\}$是常数列。