《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (2023·济南模拟)若向量a，b满足$|a| = 1$，$(a + b)\perp a$，$(2a + b)\perp b$，则$|b|=$ ( )
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B 因为$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}$，$|\boldsymbol{a}| = 1$，故$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=0$，即$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}^{2}=-|\boldsymbol{a}|^{2}=-1$.又$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，故$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=-2+\boldsymbol{b}^{2}=0$，故$\boldsymbol{b}^{2}=2$，故$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$.

2. 已知平面向量a，b的夹角为$120^{\circ}$，且$|a| = 3$，$|b| = 2$.
(1) 求$(2a + b)\cdot(a - 2b)$；
(2) 若$a + b$与$a - kb$垂直，求实数k的值.

答案： [解析]
(1)由$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$120^{\circ}$，$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}=3\times2\times(-\frac{1}{2})=-3$，故$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}^{2}-3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{b}^{2}=2\times9-3\times(-3)-2\times4 = 19$；
(2)由$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b}$垂直，则$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b})=0$，故$\boldsymbol{a}^{2}-k\boldsymbol{b}^{2}+(1 - k)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，可得$9-4k-3(1 - k)=0$，解得$k = 6$.

3. (2023·芜湖模拟)如图，在平行四边形ABCD中，$AD = 2$，$AB = 4$，$\angle DAB=\frac{\pi}{3}$，点E是AB的中点，连接DE，AC，记它们的交点为点G，设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=b$.
(1) 用a，b表示$\overrightarrow{AG}$；
(2) 求$\langle\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AB}\rangle$的余弦值.

答案： [解析]
(1)不难得出△AGE，△DGC是一对相似三角形，且$\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，故$\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}$，即$AG=\frac{1}{3}AC$，根据向量的加法法则，得$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$；
(2)由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4\times2\times\frac{1}{2}=4$，$|\boldsymbol{a}| = 4$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，于是$|\overrightarrow{AC}|^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=16 + 4+8 = 28$，所以$|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{7}$.又$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=20$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AB}\rangle=\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\rangle=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{20}{2\sqrt{7}\times4}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$.