《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 直观图
[例1]在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示. 已知O为坐标原点，A(2$\sqrt{2}$,0)，B(2$\sqrt{2}$,2)，C(0,6). 在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形O'A'B'C'的周长为（ ）

A. 8
B. 10
C. 5 + 2$\sqrt{2}$
D. 6 + 2$\sqrt{2}$

答案：
D 如图，画出直观图, 过点A'作A'D⊥O'C'，垂足为D.因为O'C'=$\frac{1}{2}$OC = 3，∠C'O'A' = ∠B'A'x' = 45°，所以O'C'//A'B'，O'D = A'D = 2，C'D = 1 = A'B'，则A'D = B'C' = 2，故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C' = 6 + 2√2.

角度2 侧面展开图
[例2]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为$\frac{2\pi}{3}$，弧长为2$\pi$的扇形，则该圆锥的体积等于（ ）
A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$
B. 2$\sqrt{2}\pi$
C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

答案： C 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则2π=$\frac{2π}{3}$l，解得l = 3，又2πr = 2π，解得r = 1，所以圆锥的高为h = √{l² - r²}=2√2，所以圆锥的体积是V=$\frac{1}{3}$×πr²×h=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$.

对点训练
1. 如图所示，在四边形OABC中，OA = 2，AB = 2$\sqrt{2}$，BC = 3，OA⊥AB且OA//BC，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）

A. 5$\sqrt{2}$
B. 5
C. $\frac{5}{2}$
D. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

答案：
1.C 如图所示，O'A'B'C'为OABC的直观图，根据斜二测画法的规则可知O'A' = 2，A'B' = √2，B'C' = 3，A'B'平行于y'轴，所以该图形的面积为S=$\frac{1}{2}$×(3 + 2)×√2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$.

2. 已知圆锥的侧面积（单位：$cm^{2}$）为2$\pi$，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是______.

答案：
2.[解析]如图, 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S_{侧}=πrl = 2π，即rl = 2.由于侧面展开图为半圆，可知$\frac{1}{2}$πl² = 2π，可得l = 2，因此r = 1.答案:1

考点二 空间几何体的表面积与侧面积
[例3]（1）如图，位于西安的大雁塔，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔. 塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
（2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，且a = 1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 5$\pi$ B. $\pi$ C. $\frac{11\pi}{3}$ D. $\frac{7\pi}{3}$

答案：

(1)D 塔顶是正四棱锥P - ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，则底面积为S_{1}=a²，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，又因为∠PAO = 45°，所以PA = √2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$a = a，则△PAB是正三角形，面积为S_{2}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，所以$\frac{S_{2}}{S_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.

(2)D 由三棱柱所有棱的长a = 1，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径2r=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设外接球的半径为R，
则有R² = r² + ($\frac{a}{2}$)²=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
所以该球的表面积S = 4πR²=$\frac{7π}{3}$.

对点训练
如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的$\frac{1}{2}$（中间衔接的细管长度忽略不计）. 当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）

A. 4$\sqrt{5}\pi$
B. 8$\sqrt{5}\pi$
C. 32$\sqrt{17}\pi$
D. 16$\sqrt{17}\pi$

答案： D 细沙在上部圆锥内时的体积V=$\frac{1}{3}$×π×4²×8=$\frac{128π}{3}$，漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为h_{1}，则$\frac{1}{3}$×π×8²·h_{1}=$\frac{128π}{3}$，所以h_{1}=2，下部圆锥形沙堆的母线长l = √{8² + 2²}=2√17，故此沙堆的侧面积S_{侧}=π×8×2√17 = 16√17π.