《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 向量的夹角
定义 已知两个非零向量a和b，作$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，则____叫做a与b的夹角
范围 设$\theta$是a与b的夹角，则$\theta$的取值范围是____
共线与垂直 ____$\Leftrightarrow a// b$，____$\Leftrightarrow a\perp b$
微点拨 确定两个非零向量a和b的夹角，必须将两个向量平移至同一起点.

答案： ∠AOB 0≤θ≤π θ = 0或θ = π θ = $\frac{\pi}{2}$

2. 平面向量的数量积
条件 两个非零向量a与b的夹角为$\theta$
结论 数量____叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作$a\cdot b$，即$a\cdot b =$____
规定 零向量与任一向量的数量积为____

答案： $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ 0

3. 投影向量
条件 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是$\theta$，e是与b方向相同的单位向量，$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{CD}=b$
作图 过$\overrightarrow{AB}$的起点A和终点B，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1$，$B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$

结论 我们称上述变换为向量a向向量b____，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量a在向量b上的____，记为____

答案： 投影　投影向量 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta\boldsymbol{e}$

4. 向量数量积的运算律
交换律 $a\cdot b=$____
分配律 $(a + b)\cdot c=$____
数乘结合律 $(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)=$____
 

答案： $\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$ $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$ $\boldsymbol{a}\cdot(\lambda\boldsymbol{b})$