《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

已知数列${a_n}$满足$a_1 = 1，$$a_{n + 1} + a_n = 4n.$
(1)求数列${a_n}$的前100项和$S_{100}；$
(2)求数列${a_n}$的通项公式.

答案： 【解析】
(1)因为$a_{1}=1,a_{n + 1}+a_{n}=4n$，所以$S_{100}=(a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+\cdots +(a_{99}+a_{100})$
$=4\times1 + 4\times3+\cdots +4\times99$
$=4\times(1 + 3 + 5+\cdots + 99)$
$=4\times50^{2}=10000$。
(2)由题意，$a_{n + 1}+a_{n}=4n$，①
$a_{n + 2}+a_{n + 1}=4(n + 1)$，②
由② - ①得，$a_{n + 2}-a_{n}=4$，
由$a_{1}=1,a_{1}+a_{2}=4$，得$a_{2}=3$。
当$n$为奇数时，$a_{n}=a_{1}+(\frac{n + 1}{2}-1)\times4=2n - 1$，
当$n$为偶数时，$a_{n}=a_{2}+(\frac{n}{2}-1)\times4=2n - 1$。
综上所述，$a_{n}=2n - 1$。

迁移应用
在数列${a_n}$中，已知$a_1 = 1，$$a_n·a_{n + 1} = (\frac{1}{2})^n，$记$S_n$为${a_n}$的前n项和，$b_n = a_{2n} + a_{2n - 1}，$$n∈N^*.$
(1)判断数列${b_n}$是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列${a_n}$的通项公式；
(3)求$S_n.$

答案： 【解析】
(1)因为$a_{n}\cdot a_{n + 1}=(\frac{1}{2})^{n}$，所以$a_{n + 1}\cdot a_{n + 2}=(\frac{1}{2})^{n + 1}$，所以$\frac{a_{n + 2}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$，即$a_{n + 2}=\frac{1}{2}a_{n}$。
因为$b_{n}=a_{2n}+a_{2n - 1}$，所以$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{a_{2n + 2}+a_{2n + 1}}{a_{2n}+a_{2n - 1}}=\frac{\frac{1}{2}a_{2n}+\frac{1}{2}a_{2n - 1}}{a_{2n}+a_{2n - 1}}=\frac{1}{2}$，
所以数列$\{b_{n}\}$是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。
因为$a_{1}=1,a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}$，所以$a_{2}=\frac{1}{2},b_{1}=a_{1}+a_{2}=\frac{3}{2}$，
所以$b_{n}=\frac{3}{2}\times(\frac{1}{2})^{n - 1}=\frac{3}{2^{n}},n\in N^{*}$。
(2)由
(1)可知$a_{n + 2}=\frac{1}{2}a_{n}$，所以$a_{1},a_{3},a_{5},\cdots$是以$a_{1}=1$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；$a_{2},a_{4},a_{6},\cdots$是以$a_{2}=\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以$a_{2n - 1}=(\frac{1}{2})^{n - 1},a_{2n}=(\frac{1}{2})^{n}$，
所以$a_{n}=\begin{cases}(\frac{1}{2})^{\frac{n - 1}{2}},n为奇数\\(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{cases}$。
(3)因为$S_{2n}=(a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n - 1})+(a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n})=\frac{1 - (\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{2}[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{3}{2^{n}}$，
又$S_{2n - 1}=S_{2n}-a_{2n}=3-\frac{3}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n}}=3-\frac{4}{2^{n}}$，
所以$S_{n}=\begin{cases}3-\frac{3}{2^{\frac{n}{2}}},n为偶数\\3-\frac{4}{2^{\frac{n + 1}{2}}},n为奇数\end{cases}$。