《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.（必修第一册P152例6变条件）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量$y$（单位：毫克）与时间$x$（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图. 现拟从下列四个函数模型中选择一个估计$y$与$x$的关系，则应选用的函数模型是 （ ）

A. $y = ax + b$
B. $y = a\cdot(\frac{1}{4})^{x}+b(a＞0)$
C. $y = x^{a}+b(a＞0)$
D. $y = ax+\frac{b}{x}(a＞0,b＞0)$

答案： B 由题图可知，函数在(0，+∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y = a·($\frac{1}{4}$)^x + b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数单调递减，符合题意.

3.（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据$L$和小数记录法的数据$V$满足$L = 5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（$\sqrt[10]{10}\approx1.259$） （ ）
A. 1.5
B. 1.2
C. 0.8
D. 0.6

答案： C 由题意知，lgV = 4.9 - 5 = - 0.1，故V = 10^(- 0.1)=$\frac{1}{\sqrt[10]{10}}$≈0.8.

4.（建错函数模型）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品$x$万件时的生产成本为$C(x)=\frac{1}{2}x^{2}+2x + 20$（万元）. 1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 （ ）
A. 36万件
B. 18万件
C. 22万件
D. 9万件

答案： B 利润L(x)=20x - C(x)=-$\frac{1}{2}$(x - 18)^2 + 142，当x = 18时，L(x)有最大值.

考点一 用函数图象刻画变化过程
[例1]（多选题）该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间. 已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是 （ ）
A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

答案： ABC 从题中图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.

对点训练
（2024·厦门质检）（多选题）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量$y$（单位：微克）与时间$t$（单位：时）之间的关系近似满足一段曲线，如图所示. 据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，对治疗该病有效，则 （ ）

A. $a = 3$
B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C. 注射该药物$\frac{1}{8}$小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为$5\frac{31}{32}$小时

答案： AD 当t = 1时，y = 4，即($\frac{1}{2}$)^(1 - a)=4，解得a = 3，且k = 4，所以y=$\begin{cases}4t,0\leq t＜1\\(\frac{1}{2})^{t - 3},t\geq1\end{cases}$，故A正确；当4t = 0.125，即t = $\frac{1}{32}$时，药物刚好起效，当($\frac{1}{2}$)^(t - 3)=0.125，即t = 6时，药物刚好失效，故药物有效时长为6 - $\frac{1}{32}$=5$\frac{31}{32}$小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物$\frac{1}{8}$小时后每毫升血液含药量为4×$\frac{1}{8}$=0.5(微克)，故C错误.