《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y = cos x的对称轴是y轴. ( )
(2)正切函数y = tan x在定义域内是增函数. ( )
(3)已知y = ksin x+1，x∈R，则y的最大值为k + 1. ( )
(4)y = sin|x|是偶函数. ( )

答案： 提示:
(1)余弦函数y = cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y = tan x在每一个区间(kπ - $\frac{\pi}{2}$,kπ + $\frac{\pi}{2}$)(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(3)当k＞0时,y_max = k + 1;当k＜0时,y_max = -k + 1.答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. (2023·天津高考)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x = 2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为 ( )
A. sin($\frac{π}{2}$x)
B. cos($\frac{π}{2}$x)
C. sin($\frac{π}{4}$x)
D. cos($\frac{π}{4}$x)

答案： B 若f(x)=sin($\frac{\pi}{2}x$),则T = $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}$=4,令$\frac{\pi}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi$,k∈Z,则x = 1 + 2k,k∈Z,显然x = 2不是对称轴,故A不符合题意;若f(x)=cos($\frac{\pi}{2}x$),则T = $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}$=4,令$\frac{\pi}{2}x=k\pi$,k∈Z,则x = 2k,k∈Z,故x = 2是一条对称轴,B符合题意;f(x)=sin($\frac{\pi}{4}x$),则T = $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}$=8,故C不符合题意;f(x)=cos($\frac{\pi}{4}x$),则T = $\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}$=8,故D不符合题意.

3. (忽视系数的符号致误)下列区间中，函数f(x)=7sin($\frac{π}{6}$-x)的单调递减区间是 ( )
A. (0,$\frac{π}{2}$)
B. ($\frac{π}{2}$,π)
C. (π,$\frac{3π}{2}$)
D. ($\frac{3π}{2}$,2π)

答案： A f(x)=7sin($\frac{\pi}{6}-x$)=-7sin(x - $\frac{\pi}{6}$),因此函数f(x)=7sin($\frac{\pi}{6}-x$)的单调递减区间即为函数y = 7sin(x - $\frac{\pi}{6}$)的单调递增区间.令-$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x-\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$,k∈Z,得-$\frac{\pi}{3}+2k\pi\leq x\leq\frac{2\pi}{3}+2k\pi$,k∈Z.取k = 0,则-$\frac{\pi}{3}\leq x\leq\frac{2\pi}{3}$.因为(0,$\frac{\pi}{2}$)⊆[-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{2\pi}{3}$],所以(0,$\frac{\pi}{2}$)是函数f(x)的单调递减区间.

4. (必修第一册P213习题T4改编)函数y = 3 - 2cos(x+$\frac{π}{4}$)的最大值为 ，此时x = .

答案： 【解析】函数y = 3 - 2cos(x + $\frac{\pi}{4}$)的最大值为3 + 2 = 5,此时x + $\frac{\pi}{4}$=$\pi+2k\pi$(k∈Z),即x = $\frac{3\pi}{4}+2k\pi$(k∈Z).答案:5 $\frac{3\pi}{4}+2k\pi$(k∈Z)

1. 函数y = $\sqrt{cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$的定义域为 ( )
A. [-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{6}$]
B. [kπ - $\frac{π}{6}$,kπ + $\frac{π}{6}$](k∈Z)
C. [2kπ - $\frac{π}{6}$,2kπ + $\frac{π}{6}$](k∈Z)
D. R

答案： C 由cos x - $\frac{\sqrt{3}}{2}\geq0$,得cos x≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以2kπ - $\frac{\pi}{6}\leq x\leq2k\pi+\frac{\pi}{6}$,k∈Z.

2. 函数f(x)=-2tan(2x+$\frac{π}{6}$)的定义域是 ( )
A. {x|x≠$\frac{π}{6}$}
B. {x|x≠kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z}
C. {x|x≠-$\frac{π}{12}$}
D. {x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$,k∈Z}

答案： D 由2x + $\frac{\pi}{6}\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$(k∈Z),得x≠$\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}$(k∈Z).

3. 函数y = $\sqrt{sin x - cos x}$的定义域为 .

答案：
【解析】要使函数有意义,必须使sin x - cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y = sin x和y = cos x的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x = cos x的x为$\frac{\pi}{4}$,$\frac{5\pi}{4}$,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为{x|2kπ + $\frac{\pi}{4}\leq x\leq2k\pi+\frac{5\pi}{4}$,k∈Z}. 答案:[2kπ + $\frac{\pi}{4}$,2kπ + $\frac{5\pi}{4}$](k∈Z)

4. 函数y = lg sin x + $\sqrt{cos x - \frac{1}{2}}$的定义域为 .

答案： 【解析】使函数有意义,则有$\begin{cases}\sin x＞0,\\\cos x-\frac{1}{2}\geq0,\end{cases}$即$\begin{cases}\sin x＞0,\\\cos x\geq\frac{1}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}2k\pi＜x＜\pi + 2k\pi,\\-\frac{\pi}{3}+2k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{3}+2k\pi\end{cases}$(k∈Z),所以2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}+2k\pi$,k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}+2k\pi$,k∈Z}.答案:{x|2kπ＜x≤$\frac{\pi}{3}+2k\pi$,k∈Z}

考点二 三角函数的值域(最值)
[例1 ](1)函数f(x)=sin³xcos x - sin xcos³x的最大值为 ( )
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 1
(2)当x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$]时，函数y = 3 - sin x - 2cos²x的值域为 .
(3)函数y = sin x - cos x + sin xcos x的值域为 .

答案：
(1)B 因为f(x)=sin³xcos x - sin xcos³x = sin xcos x(sin²x - cos²x)=-$\frac{1}{2}$sin 2xcos 2x = -$\frac{1}{4}$sin 4x,所以f(x)=sin³xcos x - sin xcos³x的最大值为$\frac{1}{4}$.
(2)【解析】因为x∈[$\frac{\pi}{6}$,$\frac{7\pi}{6}$],所以sin x∈[-$\frac{1}{2}$,1].又y = 3 - sin x - 2cos²x = 3 - sin x - 2(1 - sin²x)=2(sin x - $\frac{1}{4}$)²+$\frac{7}{8}$,所以当sin x = $\frac{1}{4}$时,y_min = $\frac{7}{8}$,当sin x = -$\frac{1}{2}$或sin x = 1时,y_max = 2.即函数的值域为[$\frac{7}{8}$,2].答案:[$\frac{7}{8}$,2]
(3)【解析】设t = sin x - cos x,则t² = sin²x + cos²x - 2sin xcos x,sin xcos x = $\frac{1 - t²}{2}$,且-$\sqrt{2}\leq t\leq\sqrt{2}$.所以y = -$\frac{t²}{2}+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t - 1)²+1$.当t = 1时,y_max = 1;当t = -$\sqrt{2}$时,y_min = -$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$.所以函数的值域为[-$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$,1].答案:[-$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$,1]