《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1. 已知$x\in[\frac{1}{2},2]$，则①函数$f(x)=25x+\frac{9}{x}$的值域为______；②函数$g(x)=25x-\frac{9}{x}$的值域为______.

答案： 1.[解析]①易知函数$f(x)=25x+\frac{9}{x}$在$[\frac{1}{2},2]$上为“对勾函数”的一部分，解方程$25x=\frac{9}{x}$得$x=\frac{3}{5}$（负根舍去），所以$f(x)$在$[\frac{1}{2},\frac{3}{5}]$上单调递减，在$[\frac{3}{5},2]$上单调递增，又$f(\frac{1}{2})=\frac{61}{2}$，$f(\frac{3}{5})=30$，$f(2)=\frac{109}{2}$，所以$f(x)_{min}=f(\frac{3}{5})=30$，$f(x)_{max}=f(2)=\frac{109}{2}$.②易知函数$g(x)=25x-\frac{9}{x}$在$[\frac{1}{2},2]$上为“飘带函数”的一部分，且$g(x)$在$[\frac{1}{2},2]$上单调递增，所以$g(x)_{min}=g(\frac{1}{2})=-\frac{11}{2}$，$g(x)_{max}=g(2)=\frac{91}{2}$.答案：①$[30,\frac{109}{2}]$ ②$[-\frac{11}{2},\frac{91}{2}]$

2. 函数$f(x)=x^2 - ax + 1\geq0$在$[-3,\frac{1}{2}]$内恒成立，则实数$a$的取值范围是______.

答案： 2.[解析]当$x\in[-3,0)$时，由$x^2 - ax + 1\geq0$，得$a\geq x+\frac{1}{x}$，所以$a\geq(x+\frac{1}{x})_{max}=-2$；当$x = 0$时，$f(0)=1\geq0$成立，$a\in R$；当$x\in(0,\frac{1}{2}]$时，$a\leq(x+\frac{1}{x})_{min}=\frac{5}{2}$.综上可得，实数$a$的取值范围是$[-2,\frac{5}{2}]$.答案：$[-2,\frac{5}{2}]$

3. 方程$x^2 - mx + 1 = 0$的两根为$\alpha,\beta$，且$\alpha＞0,1＜\beta＜2$，则实数$m$的取值范围是______.

答案： 3.[解析]由题意可知，$\begin{cases}\alpha+\beta=m\\\alpha\beta = 1\end{cases}$，所以$m=\beta+\frac{1}{\beta}$，$\beta\in(1,2)$，形如函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(1,2)$上是增函数，所以可直接得到$m\in(f(1),f(2))$，即$1 + 1＜m＜2+\frac{1}{2}$，即$m\in(2,\frac{5}{2})$.答案：$(2,\frac{5}{2})$

4. 设函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$，对任意的$x\in[1,+\infty)$，$f(mx)+mf(x)＜0$恒成立，则实数$m$的取值范围是______.

答案： 4.[解析]显然$m\neq0$，由于函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$在$[1,+\infty)$上是增函数，则当$m＞0$时，$f(mx)+mf(x)=2mx-\frac{1 + m^2}{mx}$，是形如$f(x)=ax+\frac{b}{x}(a＞0,b＜0)$的函数.在$[1,+\infty)$上单调递增，则$f(mx)+mf(x)＜0$不恒成立，因此$m＞0$不成立.当$m＜0$时，$f(mx)+mf(x)=2mx-\frac{1 + m^2}{mx}$，是形如$f(x)=ax+\frac{b}{x}(a＜0,b＞0)$的函数.在$[1,+\infty)$上是减函数，因此，当$x = 1$时，$f(mx)+mf(x)$的最大值为$m-\frac{1}{m}$，于是$f(mx)+mf(x)＜0$恒成立等价于$f(mx)+mf(x)$，$x\in[1,+\infty)$的最大值小于$0$，即$\begin{cases}m＜0\\m-\frac{1}{m}＜0\end{cases}$，解得$m＜-1$，所以实数$m$的取值范围是$(-\infty,-1)$.答案：$(-\infty,-1)$

[例1]（1）（多选题）下列函数中，值域为$[1,+\infty)$的是 （ ）
A. $y = \sqrt{x - 1}$
B. $y = |x| + 1$
C. $y = \sqrt{x^2 + 1}$
D. $y=\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$

答案： （1）BC 对于A，函数的值域为$[0,+\infty)$，所以该选项不符合题意；对于B，因为$|x|\geq0$，所以$|x| + 1\geq1$，所以函数的值域为$[1,+\infty)$，所以该选项符合题意；对于C，因为$x^2\geq0$，所以$x^2 + 1\geq1$，所以$\sqrt{x^2 + 1}\geq1$，所以函数的值域为$[1,+\infty)$，所以该选项符合题意；对于D，函数的值域为$(0,+\infty)$，所以该选项不符合题意.

（2）函数$f(x)=\begin{cases}(x + 1)^2,-2\leq x＜1\\-x + 5,1\leq x\leq3\end{cases}$的值域是______.（用区间表示）

答案： （2）[解析]当$-2\leq x＜1$时，$f(x)=(x + 1)^2$，为开口向上，对称轴为$x=-1$的抛物线，所以$f(x)\in[0,4)$；当$1\leq x\leq3$时，$f(x)=-x + 5$，为单调递减函数，所以$f(x)\in[2,4]$，综上，$f(x)\in[0,4]$，即$f(x)$的值域为$[0,4]$.答案：$[0,4]$

对点训练
1. 函数$y = \sqrt{16 - 2^x}$的值域为______.

答案： 1.[解析]因为$16 - 2^x\geq0$，即$2^x\leq16$，所以$x\leq4$，所以$2^x\in(0,16]$，所以$16 - 2^x\in[0,16)$，$y=\sqrt{16 - 2^x}\in[0,4)$.答案：$[0,4)$

2. 函数$f(x)=\frac{2}{3^x + 1}+1$的值域为______.

答案： 2.[解析]因为$3^x + 1\in(1,+\infty)$，得$f(x)=\frac{2}{3^x + 1}+1\in(1,3)$，故函数$f(x)=\frac{2}{3^x + 1}+1$的值域为$(1,3)$.答案：$(1,3)$

[例2]函数$y = \sqrt{-x^2 + x + 2}$的值域为______.

答案： [解析]因为函数$y=\sqrt{-x^2 + x + 2}=\sqrt{-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}}$，所以$0\leq y\leq\frac{3}{2}$，所以函数的值域为$[0,\frac{3}{2}]$.答案：$[0,\frac{3}{2}]$

[例6]（1）函数$y = x+\sqrt{1 - 2x}$的值域为______.

答案： （1）[解析]令$t=\sqrt{1 - 2x}\geq0$，则$x=\frac{1 - t^2}{2}$，所以$y=-\frac{1}{2}t^2 + t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t - 1)^2 + 1(t\geq0)$，故当$t = 1$时，$y$取得最大值为$1$，没有最小值，故值域为$(-\infty,1]$.答案：$(-\infty,1]$

[例8]（1）函数$y=\frac{3 - \sin x}{2 - \cos x}$的值域为______.

答案： （1）[解析]由题意可得，函数可看成定点$(2,3)$到动点$(\cos x,\sin x)$连线的斜率，又因为动点$(\cos x,\sin x)$在单位圆上，所以问题转化为求定点$(2,3)$到单位圆连线的斜率问题.设直线的方程为$y - 3=k(x - 2)$，所以$kx - y - 2k + 3 = 0$，因为直线与圆相切，所以$1=\frac{|-2k + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}}$，所以$k=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3}$，所以函数的值域为$[\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3},\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}]$.答案：$[\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3},\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}]$