《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1] (1) 如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为α(0＜α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为 ( )

A. $\frac{\pi}{2}$ B. $\frac{\pi}{4}$ C. $\frac{\pi}{8}$ D. $\frac{\pi}{16}$
(2) 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
① 若α=$\frac{\pi}{3}$，R=10 cm，求扇形的弧长l.
② (一题多法)若扇形的周长是16 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大?
③ 若α=$\frac{\pi}{3}$，R=2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.

答案： [例 1]
(1)C 由题图可知,α=$\frac{1}{8}$×2π=$\frac{\pi}{4}$,所以该扇形的面积 S=$\frac{1}{2}$×$\frac{\pi}{4}$×1²=$\frac{\pi}{8}$.
(2) [解析]①因为α=$\frac{\pi}{3}$,R = 10 cm,所以 l = |α|R=$\frac{\pi}{3}$×10=$\frac{10\pi}{3}$(cm).
②方法一:由题意知 2R + l = 16,所以 l = 16 - 2R(0＜R＜8),则 S=$\frac{1}{2}$lR=$\frac{1}{2}$(16 - 2R)R=-R²+8R=-(R - 4)²+16,当 R = 4 cm 时,Smax = 16 cm²,l = 16 - 2×4 = 8(cm),α=$\frac{l}{R}$=2,所以 S 的最大值是 16 cm²,此时扇形的半径是 4 cm,圆心角α = 2 rad.
方法二:S=$\frac{1}{2}$lR=$\frac{1}{4}$l·2R≤$\frac{1}{4}$·$(\frac{l + 2R}{2})^2$=16,当且仅当 l = 2R,即 R = 4 cm 时,S 的最大值是 16 cm².此时扇形的圆心角α = 2 rad.
③设弓形面积为 S弓形,由题意知 l=$\frac{2\pi}{3}$ cm,所以 S弓形=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\pi}{3}$×2 - $\frac{1}{2}$×2²×sin$\frac{\pi}{3}$=($\frac{2\pi}{3}$ - $\sqrt{3}$)cm².

1. (2024·浙江名校联考)如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设$\overset{\frown}{AD}$的长度是l₁，$\overset{\frown}{BC}$的长度是l₂，几何图形ABCD的面积为S₁，扇形BOC的面积为S₂，若$\frac{l_{1}}{l_{2}}$=2，则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$= ( )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： 1. C 设∠AOD = θ,OA = r1,OB = r2,则 l1 = θr1,l2 = θr2,又$\frac{l1}{l2}$=2,所以$\frac{r1}{r2}$=2,即 B 是 OA 的中点,所以 S1=$\frac{1}{2}$θ(r1² - r2²)=$\frac{3}{2}$θr2²,S2=$\frac{1}{2}$θr2²,所以$\frac{S1}{S2}$=3.

2. (2024·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为$\frac{\pi}{4}$米，整个肩宽约为$\frac{\pi}{8}$米，“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732) ( )

A. 1.612米 B. 1.768米
C. 1.868米 D. 2.045米

答案： 2. B 由题意得,“弓”所在的弧长 l=$\frac{\pi}{4}$+$\frac{\pi}{4}$+$\frac{\pi}{8}$=$\frac{5\pi}{8}$,R = 1.25 = $\frac{5}{4}$,所以其所对的圆心角α=$\frac{l}{R}$=$\frac{\frac{5\pi}{8}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{\pi}{2}$,所以双手之间的距离 d = $\sqrt{R^{2}+R^{2}}$=$\sqrt{2}$×1.25≈1.768.