《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. （ ）
（2）在△ABC中，若$\sin A ＞ \sin B$，则$A ＞ B$.（ ）
（3）在△ABC中，若$A:B:C = 1:2:3$，则$a:b:c = 1:2:3$. （ ）
（4）当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时，△ABC为锐角三角形；当$b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$时，△ABC为直角三角形；当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＜0$时，△ABC为钝角三角形. （ ）

答案： 提示:
(1)已知三角时，不可求三边.
(3)三角形中三边之比等于相应的三个内角正弦值之比.
(4)当$b^{2}+c^{2}-a^{2}＞0$时，$\triangle ABC$不一定为锐角三角形.答案:
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)×

2.（应用正弦定理求角时漏解）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$a = 1$，$b=\sqrt{2}$，$A = 30^{\circ}$，则B等于 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$或$150^{\circ}$
D. $45^{\circ}$或$135^{\circ}$

答案： D 由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$得$\frac{1}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin B}$，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$b ＞ a$，即$B ＞ A$，又因为$0^{\circ} ＜ B ＜ 150^{\circ}$，所以$B = 45^{\circ}$或$135^{\circ}$.

3.（必修第二册P48练习T2·变条件）在△ABC中，$a = 6$，$b = 6\sqrt{3}$，$A = 30^{\circ}$，则最长边$c =$__________.

答案： [解析]在$\triangle ABC$中，$a = 6$，$b = 6\sqrt{3}$，$A = 30^{\circ}$，由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，$36 = 108 + c^{2}-12\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}c$，化简得$c^{2}-18c + 72 = 0$，解得$c = 6$或$c = 12$，因为$c$是最长的边，所以$c = 12$.答案:12

4.（2023·上海高考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边$a = 4$，$b = 5$，$c = 6$，则$\sin A =$__________.

答案： [解析]$a = 4$，$b = 5$，$c = 6$，由余弦定理得，$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{25 + 36 - 16}{2\times5\times6}=\frac{3}{4}$，又因为$A\in(0,\pi)$，所以$\sin A＞0$，所以$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1 - (\frac{3}{4})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.答案:$\frac{\sqrt{7}}{4}$

1. 在△ABC中，已知$b = 40$，$c = 20$，$C = 60^{\circ}$，则此三角形的解的情况是 （ ）
A. 有一解
B. 有两解
C. 无解
D. 有解但解的个数不确定

答案： C 由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，所以$\sin B=\frac{b\sin C}{c}=\frac{40\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{20}=\sqrt{3}＞1$，所以$B$不存在，即满足条件的三角形不存在.

2. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$a=\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$C=\frac{\pi}{6}$，则$c =$ （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$或$\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B 由正弦定理知$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，则$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin A}$，$\sin A=\sin(\pi - B - C)=\sin(B + C)$，因为$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\cos B=\pm\sqrt{1-\sin^{2}B}=\pm\frac{1}{2}$，故$B=\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$.又$C=\frac{\pi}{6}$，故均满足题设.当$B=\frac{\pi}{3}$时，$\sin A = 1$，此时$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$；当$B=\frac{2\pi}{3}$时，$\sin A=\frac{1}{2}$，此时$c=\sqrt{3}$.

3.（2023·北京高考）在△ABC中，$(a + c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$，则$C =$ （ ）
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： B 由正弦定理知，$(a + c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$可化为$(a + c)(a - c)=b(a - b)$，即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$，所以$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，又$C\in(0,\pi)$，所以$C=\frac{\pi}{3}$.

4.（2023·全国乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$a\cos B - b\cos A = c$，且$C=\frac{\pi}{5}$，则$\angle B =$ （ ）
A. $\frac{\pi}{10}$
B. $\frac{\pi}{5}$
C. $\frac{3\pi}{10}$
D. $\frac{2\pi}{5}$

答案： C 由题意结合正弦定理可得$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin C$，即$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A + B)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$，整理可得$\sin B\cos A = 0$，由于$B\in(0,\pi)$，故$\sin B＞0$，据此可得$\cos A = 0$，$A=\frac{\pi}{2}$，则$B=\pi - A - C=\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}=\frac{3\pi}{10}$.

5.（2023·天津高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知$a=\sqrt{39}$，$b = 2$，$A = 120^{\circ}$.
（1）求$\sin B$的值；
（2）求$c$的值；
（3）求$\sin(B - C)$的值.

答案： [解析]
(1)$a=\sqrt{39}$，$b = 2$，$A = 120^{\circ}$，则$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$；
(2)$a=\sqrt{39}$，$b = 2$，$A = 120^{\circ}$，则$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos A = 4 + c^{2}+2c = 39$，化简整理可得，$(c + 7)(c - 5)=0$，解得$c = 5$(负值舍去)；
(3)因为$a＞c＞b$，所以$B$，$C$为锐角，所以$\cos B=\sqrt{1-\sin^{2}B}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$，$c = 5$，$a=\sqrt{39}$，$A = 120^{\circ}$，则$\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{5\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$，故$\cos C=\sqrt{1-\sin^{2}C}=\frac{3\sqrt{39}}{26}$，所以$\sin(B - C)=\sin B\cos C-\sin C\cos B=\frac{\sqrt{13}}{13}\times\frac{3\sqrt{39}}{26}-\frac{5\sqrt{13}}{26}\times\frac{2\sqrt{39}}{13}=-\frac{7\sqrt{3}}{26}$.