《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例2](1)(2023·郑州模拟)将函数$f(x)$的图象上所有点向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数$y = \sin x$的图象，则$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{4}]$上的值域为 ( )
A. $[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$ B. $[-\frac{1}{2},1]$
C. $[\frac{1}{2},1]$ D. $[\frac{\sqrt{3}}{2},1]$
(2)函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$(其中$\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}$)的图象如图所示，为了得到$y = \sin x$的图象，则需将$y = f(x)$的图象 ( )
A. 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，再向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，再向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

答案： [例2]
(1)C 将$y = \sin x$的图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变得到$y = \sin2x$的图象，再将$y = \sin2x$的图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象.
当$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$时，$\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right]$，
所以$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\in\left[\frac{1}{2},1\right]$.
(2)C 由题图可知，$\frac{1}{2}T=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，
所以$T = \pi$，故$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，故函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)$，
又函数图象经过点$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$，
故有$\sin\left(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=0$，即$2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi$，
所以$\varphi=k\pi-\frac{2\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，
又$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{3}$，
所以$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，
故将函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$图象的横坐标伸长到原来的2倍得到$y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象，然后再向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度即可得到$y = \sin x$的图象.

1. (2024·长春模拟)要得到$y = \cos\frac{x}{2}$的图象，只要将$y = \sin\frac{x}{2}$的图象 ( )
A. 向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度
B. 向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度
C. 向左平移$\pi$个单位长度
D. 向右平移$\pi$个单位长度

答案： 1. C 函数$y = \sin\frac{x}{2}$的图象向左平移$\pi$个单位长度后得到$y = \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}$的图象.

2. (2024·长沙模拟)将函数$f(x)=\sin(2x - \frac{\pi}{3})$的图象向左平移$\varphi(0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2})$个单位长度. 得到函数$g(x)$的图象，若$g(x)$是奇函数，则$\varphi =$________________.

答案： 2.【解析】函数$f(x)$向左平移$\varphi$个单位长度，得到函数$g(x)=\sin\left[2(x+\varphi)-\frac{\pi}{3}\right]$，
函数$g(x)$是奇函数，所以$g(0)=\sin\left(2\varphi-\frac{\pi}{3}\right)=0$，则$2\varphi-\frac{\pi}{3}=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
则$\varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$.因为$\varphi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$.
答案：$\frac{\pi}{6}$

[例3](1)函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)$在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为 ( )
A. $y = 2\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$ B. $y = 2\sin(x+\frac{\pi}{3})$
C. $y = 2\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3})$ D. $y = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$

(2)(2023·潍坊模拟)函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，现将$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，得到函数$g(x)$的图象，则$g(x)$的表达式可以为 ( )
A. $g(x)=2\sin2x$ B. $g(x)=2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$
C. $g(x)=2\sin(x - \frac{\pi}{6})$ D. $g(x)=2\cos(x+\frac{\pi}{3})$

答案： [例3]
(1)A 由已知可得函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)$的图象经过点$\left(-\frac{\pi}{12},2\right)$和点$\left(\frac{5\pi}{12},-2\right)$，
则$A = 2$，$T = \pi$，所以$\omega = 2$，则函数的解析式为$y = 2\sin(2x+\varphi)$，
将$\left(-\frac{\pi}{12},2\right)$代入得$-\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
所以$\varphi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
当$k = 0$时，$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，此时$y = 2\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$.
(2)B 由题图可知$f(x)_{\max}=2$，所以$A = 2$；
又$f(0)=2\sin\varphi=-1$，所以$\sin\varphi=-\frac{1}{2}$，
又$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，
所以$f\left(\frac{7\pi}{12}\right)=2\sin\left(\frac{7\pi}{12}\omega-\frac{\pi}{6}\right)=0$，由五点作图法可知$\frac{7\pi}{12}\omega-\frac{\pi}{6}=\pi$，解得$\omega = 2$，
所以$f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$；
所以$g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left[\frac{\pi}{2}-\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\right]=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$.