《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例3] (1) 已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则函数$f(x)$的解析式可能为 ( )
A. $f(x)=x+\sin x$ B. $f(x)=x^{2}\sin x$
C. $f(x)=x^{2}+\sin x$ D. $f(x)=x\sin x$
　　
(2) (2023·天津高考)函数$f(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能为 ( )
A. $\frac{5(e^{x}-e^{-x})}{x^{2}+2}$ B. $\frac{5\sin x}{x^{2}+1}$
C. $\frac{5(e^{x}+e^{-x})}{x^{2}+2}$ D. $\frac{5\cos x}{x^{2}+1}$

答案：
(1)B　若$f(x)=x+\sin x$，则$f'(x)=1+\cos x\geq0$，所以$f(x)=x+\sin x$在$\mathbf{R}$上单调递增，故排除A；因为$f(x)=x^{2}+\sin x$为非奇非偶函数，所以排除C；因为$f(x)=x\sin x$为偶函数，所以排除D.
(2)D　由题中函数图象可知，$f(x)$图象关于$y$轴对称，其为偶函数，且$f(-2)=f(2)＜0$，由$\frac{5\sin(-x)}{x^{2}+1}=-\frac{5\sin x}{x^{2}+1}$，且定义域为$\mathbf{R}$，即选项B中函数为奇函数，排除B；当$x＞0$时，$\frac{5(e^{x}-e^{-x})}{x^{2}+2}＞0$，$\frac{5(e^{x}+e^{-x})}{x^{2}+2}＞0$，即A，C中函数在$(0,+\infty)$上函数值为正，排除A，C.

角度3 知图选图——根据图象辨别函数的图象
[例4] (2023·汕头模拟)若函数$y = f(x)$的图象如图所示，则函数$y = -f(x + 1)$的图象大致为 ( )

答案： C　$y = f(x)$的图象$\xrightarrow{向左平移一个单位}y = f(x + 1)$的图象$\xrightarrow{关于x轴对称(翻转)}y=-f(x + 1)$的图象.

角度4 借助动点探究函数的图象
[例5] 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数$f(x)$，则$y = f(x)$在$[0,\pi]$的图象大致为 ( )

答案： C　(排除法)由题图可知：当$x=\frac{\pi}{2}$时，$OP\perp OA$，此时$f(x)=0$，排除A，D；当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$OM=\cos x$，设点$M$到直线$OP$的距离为$d$，则$\frac{d}{OM}=\sin x$，即$d = OM\sin x=\sin x\cdot\cos x$，所以$f(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x\leq\frac{1}{2}$，排除B，故选C.

对点训练
1. (2023·安徽毛坦厂中学模拟)函数$f(x)=\frac{6\cos x}{2x-\sin x}$的图象大致为 ( )

答案： 1. A　易知函数$f(x)=\frac{6\cos x}{2x-\sin x}$为奇函数，所以排除选项B，C，又当$x＞0$时，$f(x)$最小的零点为$x=\frac{\pi}{2}$，所以令$x=\frac{\pi}{4}$，则有$2x-\sin x=\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}＞0$，所以排除D.