《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足aₙ₊₁=qaₙ(n∈N⁺，q为常数)的数列{aₙ}为等比数列. ( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充分不必要条件是b²=ac. ( )
(3)数列{aₙ}的通项公式是aₙ=aⁿ，则其前n项和为Sₙ=$\frac{a(1 - a^n)}{1 - a}$. ( )
(4)如果数列{aₙ}为正项等比数列，则数列{ln aₙ}是等差数列. ( )

答案： 答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
解析：
(1)当$q = 0$时，不满足等比数列定义，所以该说法错误。
(2)当$a = b = c = 0$时满足$b^2 = ac$，但不是等比数列，所以$b^2 = ac$不是三个数$a$，$b$，$c$成等比数列的充分不必要条件，该说法错误。
(3)当$a = 1$时，$S_n=na_1=n$，而不是$\frac{a(1 - a^n)}{1 - a}$，所以该说法错误。
(4)设$a_n = a_1q^{n - 1}$（$a_n＞0$），则$\ln a_n=\ln a_1+(n - 1)\ln q$，$\ln a_{n + 1}-\ln a_n=\ln q$为常数，所以数列$\{\ln a_n\}$是等差数列，该说法正确。

2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{aₙ}是各项均为正数的等比数列，且a₁=1，a₅=16，则a₆ - a₅= ( )
A.32
B.-48
C.16
D.-48或16

答案： 答案：C
解析：由题意，$q＞0$，$a_5=a_1q^4$，即$16 = 1\times q^4$，解得$q = 2$，所以$a_6 - a_5 = a_5(q - 1)=16\times(2 - 1)=16$。

3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{aₙ}中，a₃=6，前三项和S₃=18，则公比q的值为 ( )
A.1
B.-$\frac{1}{2}$
C.1或-$\frac{1}{2}$
D.-1或-$\frac{1}{2}$

答案： 答案：C
解析：因为$S_3 = 18$，$a_3 = 6$，所以$a_1 + a_2=\frac{a_3}{q^2}(1 + q)=12$，即$\frac{6}{q^2}(1 + q)=12$，化简得$2q^2 - q - 1 = 0$，因式分解为$(2q + 1)(q - 1)=0$，解得$q = 1$或$q = -\frac{1}{2}$。

4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{aₙ}的前3项和为168，a₂ - a₅=42，则a₆= ( )
A.14
B.12
C.6
D.3

答案： 答案：D
解析：设等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，由题意可得$\begin{cases}S_3 = 168\\a_2 - a_5 = 42\end{cases}$，即$\begin{cases}\frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q}=168\\a_1q(1 - q^3)=42\end{cases}$，两式相除得$\frac{a_1q(1 - q^3)}{\frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q}}=\frac{42}{168}$，即$q(1 - q)=\frac{1}{4}$，解得$q=\frac{1}{2}$，将$q=\frac{1}{2}$代入$\frac{a_1(1 - q^3)}{1 - q}=168$，解得$a_1 = 96$，所以$a_6 = a_1q^5 = 96\times(\frac{1}{2})^5 = 3$。

1.正项等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ.若a₃=$\frac{a_4}{a_2}$，S₃=7，则a₅= ( )
A.8
B.16
C.27
D.81

答案： 答案：B
解析：设正项等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$。由$a_3=\frac{a_4}{a_2}$，可得$a_3 = q^2$，所以$a_2 = q$，$a_1 = 1$，所以$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + q + q^2 = 7$，即$q^2 + q - 6 = 0$，因式分解为$(q + 3)(q - 2)=0$，解得$q = 2$（$q = - 3$舍去），所以$a_5 = a_1q^4 = 1×2^4 = 16$。

2.设正项等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若8a₁=2S₃ - 3a₂，S₂=a₃ - 2，则S₈= ( )
A.510
B.511
C.1 022
D.1 023

答案： 答案：A
解析：设正项等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$，则由$2S_3 = 3a_2 + 8a_1$得$2a_1 + 2a_2 + 2a_3 = 3a_2 + 8a_1$，即$6a_1 + a_2 - 2a_3 = 0$，即$a_1(6 + q - 2q^2)=0$，又$a_1\neq0$，所以$6 + q - 2q^2 = 0$，因式分解为$(2q - 3)(q + 2)=0$，解得$q = 2$或$q = -\frac{3}{2}$（舍去）。由$S_2 = a_3 - 2$得$a_1 + a_2 = a_3 - 2$，即$a_1 + a_1q = a_1q^2 - 2$，将$q = 2$代入得$a_1 + 2a_1 = 4a_1 - 2$，解得$a_1 = 2$，所以$S_8=\frac{a_1(1 - q^8)}{1 - q}=\frac{2\times(1 - 2^8)}{1 - 2}=2^9 - 2 = 510$。

3.(多选题)(2024·成都调研)已知等比数列{aₙ}的各项均为正数，且3a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则下列说法正确的是 ( )
A.a₁＞0
B.q＞0
C.$\frac{a_3}{a_2}$=3或-1
D.$\frac{a_6}{a_4}$=9

答案： 答案：ABD
解析：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，由题意得$2(\frac{1}{2}a_3)=3a_1 + 2a_2$，即$a_1q^2 = 3a_1 + 2a_1q$。因为数列$\{a_n\}$的各项均为正数，所以$a_1＞0$，且$q＞0$，故A、B正确；由$q^2 - 2q - 3 = 0$，因式分解为$(q - 3)(q + 1)=0$，解得$q = 3$或$q = - 1$（舍去），所以$\frac{a_3}{a_2}=q = 3$，$\frac{a_6}{a_4}=q^2 = 9$，故C错误，D正确。

4.在等比数列{aₙ}中，若a₄ - a₂=6，a₅ - a₁=15，则a₃=____.

答案： 答案：4或 - 4
解析：设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q\neq0$且$q\neq\pm1)$，则$\begin{cases}a_1q^3 - a_1q = 6\\a_1q^4 - a_1 = 15\end{cases}$，两式相除，得$\frac{a_1q^3 - a_1q}{a_1q^4 - a_1}=\frac{6}{15}$，即$\frac{q}{1 + q^2}=\frac{2}{5}$，整理得$2q^2 - 5q + 2 = 0$，因式分解为$(2q - 1)(q - 2)=0$，解得$q = 2$或$q=\frac{1}{2}$。当$q = 2$时，代入$a_1q^3 - a_1q = 6$得$a_1 = 1$；当$q=\frac{1}{2}$时，代入$a_1q^3 - a_1q = 6$得$a_1 = - 16$。故$a_3 = a_1q^2 = 1\times2^2 = 4$或$a_3 = - 16\times(\frac{1}{2})^2 = - 4$。

5.设Sₙ为等比数列{aₙ}的前n项和.若a₁=$\frac{1}{3}$，a₄²=a₆，则S₅=____.

答案： 答案：$\frac{121}{3}$
解析：由$a_4^2 = a_6$得$(a_1q^3)^2 = a_1q^5$，即$a_1^2q^6 = a_1q^5$，因为$a_1\neq0$，所以$a_1q = 1$，将$a_1=\frac{1}{3}$代入得$q = 3$。所以$S_5=\frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q}=\frac{\frac{1}{3}×(1 - 3^5)}{1 - 3}=\frac{1 - 243}{-6}=\frac{242}{6}=\frac{121}{3}$。

6.已知数列{aₙ}为等比数列，a₁=3，3a₁，2a₂，a₃成等差数列，则数列{aₙ}的前n项和Sₙ=____.

答案： 答案：$3n$或$\frac{1}{2}\cdot3^{n + 1}-\frac{3}{2}$
解析：设数列$\{a_n\}$的公比为$q$，由题意知$4a_2 = 3a_1 + a_3$，即$4a_1q = 3a_1 + a_1q^2$，因为$a_1 = 3\neq0$，所以$4q = 3 + q^2$，即$q^2 - 4q + 3 = 0$，因式分解为$(q - 1)(q - 3)=0$，解得$q = 1$或$q = 3$。当$q = 1$时，$S_n = na_1 = 3n$；当$q = 3$时，$S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}=\frac{3\times(1 - 3^n)}{1 - 3}=\frac{3 - 3^{n + 1}}{-2}=\frac{1}{2}\cdot3^{n + 1}-\frac{3}{2}$。

[例1](1)设n∈N⁺，则“数列{aₙ}为等比数列”是“数列{$\frac{1}{a_n^2}$}为等比数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 答案：A
解析：充分性：若数列$\{a_n\}$为等比数列，公比为$q$，则$\frac{\frac{1}{a_{n + 1}^2}}{\frac{1}{a_n^2}}=\frac{a_n^2}{a_{n + 1}^2}=(\frac{1}{q})^2$为常数，所以数列$\{\frac{1}{a_n^2}\}$为公比为$\frac{1}{q^2}$的等比数列，充分性成立；必要性：若数列$\{\frac{1}{a_n^2}\}$为等比数列，公比为$q$，则$\frac{\frac{1}{a_{n + 1}^2}}{\frac{1}{a_n^2}}=q$，即$\frac{a_n^2}{a_{n + 1}^2}=q$，$\frac{a_{n + 1}}{a_n}=\pm\sqrt{\frac{1}{q}}$，所以数列$\{a_n\}$不一定是等比数列，必要性不成立。所以“数列$\{a_n\}$为等比数列”是“数列$\{\frac{1}{a_n^2}\}$为等比数列”的充分不必要条件。