《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

视角二 已知两根所在的区间
[例2](1)关于$x$的方程$x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1 = 0$恰有一根在区间$(0,1)$内，则实数$m$的取值范围是（ ）
A.$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$
B.$(\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$
C.$[\frac{1}{2},2)$
D.$(\frac{1}{2},\frac{2}{3}]\cup\{6 - 2\sqrt{7}\}$

答案： 将方程$x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1 = 0$对应的二次函数设为$f(x)=x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1$，
因为方程$x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1 = 0$恰有一根在区间$(0,1)$内，则需要满足：
①$f(0)\cdot f(1)＜0$，即$(2m - 1)(3m - 2)＜0$，解得$\frac{1}{2}＜m＜\frac{2}{3}$；
②函数$f(x)$刚好经过点$(0,0)$或者点$(1,0)$，另一个零点在区间$(0,1)$内，
把点$(0,0)$代入$f(x)=x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1$，解得$m=\frac{1}{2}$，
此时方程为$x^{2}-\frac{3}{2}x = 0$，两根为$0,\frac{3}{2}$，而$\frac{3}{2}\notin(0,1)$，不合题意，舍去；
把点$(1,0)$代入$f(x)=x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1$，解得$m=\frac{2}{3}$，
此时方程为$3x^{2}-4x + 1 = 0$，两根为$1,\frac{1}{3}$，而$\frac{1}{3}\in(0,1)$，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，其横坐标在区间$(0,1)$内，$\Delta=(m - 2)^{2}-4(2m - 1)=0$，解得$m = 6\pm2\sqrt{7}$，
当$m = 6 + 2\sqrt{7}$时，方程$x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1 = 0$的根为$-2-\sqrt{7}\notin(0,1)$，不合题意；
若$m = 6 - 2\sqrt{7}$，方程$x^{2}+(m - 2)x + 2m - 1 = 0$的根为$\sqrt{7}-2$，符合题意。
综上，实数m的取值范围为$(\frac{1}{2},\frac{2}{3}]\cup\{6 - 2\sqrt{7}\}$。

(2)已知关于$x$的二次方程$x^{2}+2mx + 2m + 1 = 0$。①若方程有两根，其中一根在区间$(-1,0)$内，另一根在区间$(1,2)$内，则实数$m$的取值范围为______________；②若方程两根均在区间$(0,1)$内，则实数$m$的取值范围为__________。

答案：
【解析】①设函数$f(x)=x^{2}+2mx + 2m + 1$，
则其图象与x轴的交点分别在区间$(-1,0)$和$(1,2)$内，画出示意图如图，

由题意，得$\begin{cases}f(0)=2m + 1＜0\\f(-1)=2＞0\\f(1)=4m + 2＜0\\f(2)=6m + 5＞0\end{cases}$，
即$\begin{cases}m＜-\frac{1}{2}\\m\in R\\m＜-\frac{1}{2}\\m＞-\frac{5}{6}\end{cases}$，
解得$-\frac{5}{6}＜m＜-\frac{1}{2}$。
②由题意知函数$f(x)=x^{2}+2mx + 2m + 1$的图象与x轴的交点落在区间$(0,1)$内，画出示意图如图，

由题意，得$\begin{cases}f(0)=2m + 1＞0\\f(1)=4m + 2＞0\\\Delta = 4m^{2}-4(2m + 1)\geqslant0\\0＜-m＜1\end{cases}$，
即$\begin{cases}m＞-\frac{1}{2}\\m＞-\frac{1}{2}\\m\geqslant1+\sqrt{2}或m\leqslant1-\sqrt{2}\\-1＜m＜0\end{cases}$，
解得$-\frac{1}{2}＜m\leqslant1-\sqrt{2}$。
答案：①$(-\frac{5}{6},-\frac{1}{2})$ ②$(-\frac{1}{2},1-\sqrt{2}]$

视角三 可转化为一元二次方程根的分布的问题
[例3](1)(2023·黄山模拟)若函数$f(x)=4^{x}-m\cdot2^{x}+m + 3$有两个不同的零点$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}\in(0,1)$，$x_{2}\in(2,+\infty)$，则实数$m$的取值范围为（ ）
A.$(-\infty,-2)$
B.$(-\infty,-2)\cup(6,+\infty)$
C.$(7,+\infty)$
D.$(-\infty,-3)$

答案： 设$t = 2^{x}$，则$t＞0$，则转化为函数$g(t)=t^{2}-mt + m + 3$有两个不同的零点$t_{1},t_{2}$，且$t_{1}\in(1,2)$，$t_{2}\in(4,+\infty)$，
所以$\begin{cases}g(1)＞0\\g(2)＜0\\g(4)＜0\end{cases}$，
即$\begin{cases}1 - m + m + 3＞0\\4 - 2m + m + 3＜0\\16 - 4m + m + 3＜0\end{cases}$，
解得$m＞7$。

(2)(2023·石家庄模拟)设函数$f(x)=-\frac{3}{2}\cos2x+a\sin x+a+\frac{9}{2}$，若方程$f(x)=0$在$(0,\pi)$上有4个不相等的实数根，则实数$a$的取值范围是______。

答案： 【解析】$f(x)=-\frac{3}{2}(1 - 2\sin^{2}x)+a\sin x + a+\frac{9}{2}=3\sin^{2}x + a\sin x + a + 3$，$x\in(0,\pi)$，
令$\sin x = t$，$t\in(0,1]$，$h(t)=3t^{2}+at + a + 3$，
当$0＜t＜1$时，$\sin x = t$有两个不相等的实数根，当$t = 1$时，$\sin x = t$有且仅有一个实数根，
因为方程$f(x)=0$在$(0,\pi)$上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于$h(t)=3t^{2}+at + a + 3 = 0$在区间$(0,1)$上有两个不相等的实数根，所以$\begin{cases}0＜-\frac{a}{6}＜1\\\Delta = a^{2}-12(a + 3)＞0\\h(0)=a + 3＞0\\h(1)=2a + 6＞0\end{cases}$，
解得$-3＜a＜6 - 6\sqrt{2}$。
答案：$(-3,6 - 6\sqrt{2})$