《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

6.（2023·济南模拟）如图，直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1 = 4，AB = 2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE = $\frac{1}{4}$BB1，CF = $\frac{1}{2}$CC1，则 （ ）


A. D1E≠AF，且直线D1E与AF是相交直线
B. D1E≠AF，且直线D1E与AF是异面直线
C. D1E = AF，且直线D1E与AF是异面直线
D. D1E = AF，且直线D1E与AF是相交直线

答案：
B 连接 $D_{1}B_{1}$，$AC$，则 $D_{1}E=\sqrt{D_{1}B_{1}^{2}+B_{1}E^{2}}=\sqrt{17}$，$AF=\sqrt{AC^{2}+CF^{2}}=2\sqrt{3}\neq D_{1}E$，如图，取点 $M$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AM$，$MF$，$AD_{1}$，$D_{1}F$.

则 $AD_{1}// MF$，故 $A$，$M$，$F$，$D_{1}$ 共面，点 $E$ 在平面 $AMFD_{1}$ 外，故直线 $D_{1}E$ 经过平面 $AMFD_{1}$ 内一点和平面外一点，故直线 $D_{1}E$ 和平面内直线 $AF$ 异面.

[例2]（1）如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD = 30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 （ ）
A. $\frac{3\sqrt{35}}{35}$
B. $\frac{4\sqrt{35}}{35}$
C. $\frac{3\sqrt{7}}{14}$
D. $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

　　　 　　　
　　

答案：
(1)C 连接 $AO_{2}$，设 $AO_{2}$ 的延长线交下底面圆周上的点为 $E$，连接 $CE$，易知 $\angle CAE$（或其补角）即为异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成的角，连接 $CD$（图略），在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$BD = 2$，$\angle CBD = 30^{\circ}$，得 $BC=\sqrt{3}$，$CD = 1$. 又 $AB = DE = AE = BD = 2$，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7}$，$CE=\sqrt{DC^{2}+DE^{2}}=\sqrt{5}$，所以在 $\triangle CAE$ 中，$\cos\angle CAE=\frac{AC^{2}+AE^{2}-CE^{2}}{2AC\cdot AE}=\frac{7 + 4 - 5}{2\times\sqrt{7}\times2}=\frac{3\sqrt{7}}{14}$，即异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成角的余弦值为 $\frac{3\sqrt{7}}{14}$.

（2）（2023·武汉模拟）在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB⊥BC，AB = BC = AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为 （ ）


A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
D. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

答案：

(2)D 设 $AB = 2$，取 $A_{1}B_{1}$ 的中点 $F$，连接 $C_{1}F$，$DF$，$DE$，则 $B_{1}F=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}$.
　　　　　　
因为 $D$，$E$ 分别为 $AC$，$BC$ 的中点，所以 $DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$，因为 $A_{1}B_{1}// AB$，$A_{1}B_{1}=AB$，所以 $DE// B_{1}F$，$B_{1}F = DE$，所以四边形 $DEB_{1}F$ 为平行四边形，所以 $DF// B_{1}E$，所以 $\angle C_{1}DF$ 为异面直线 $C_{1}D$ 与 $B_{1}E$ 所成的角或补角. 因为 $AB\perp BC$，$AB = BC = AA_{1}=2$，$D$，$E$ 分别为 $AC$，$BC$ 的中点，所以 $DF = B_{1}E=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$C_{1}F=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$C_{1}D=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$，所以 $\cos\angle C_{1}DF=\frac{\frac{1}{2}C_{1}D}{DF}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$.

1. 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 （ ）
A. $\frac{π}{2}$
B. $\frac{π}{3}$
C. $\frac{π}{4}$
D. $\frac{π}{6}$

答案：
D 如图，连接 $A_{1}C_{1}$，$BC_{1}$，因为 $AD_{1}// BC_{1}$，所以 $\angle PBC_{1}$ 为直线 $PB$ 与 $AD_{1}$ 所成的角. 设正方体的棱长为 2，则 $PB=\sqrt{6}$，$PC_{1}=\sqrt{2}$，$BC_{1}=2\sqrt{2}$，则 $PB^{2}+PC_{1}^{2}=BC_{1}^{2}$，在 $Rt\triangle PBC_{1}$ 中，因为 $\sin\angle PBC_{1}=\frac{PC_{1}}{BC_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，所以直线 $PB$ 与 $AD_{1}$ 所成的角为 $\frac{\pi}{6}$.
答案解析

2. 如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD = O，且AB⊥CD，SO = OB = 3，SE = $\frac{1}{4}$SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为 （ ）
　　　　　　　　
A. $\frac{\sqrt{22}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
C. $\frac{13}{16}$
D. $\frac{\sqrt{11}}{3}$

答案：
D 如图，过点 $S$ 作 $SF// OE$，交 $AB$ 于点 $F$，连接 $CF$，则 $\angle CSF$（或其补角）为异面直线 $SC$ 与 $OE$ 所成的角.
　　　　　　
因为 $SE=\frac{1}{4}SB$，所以 $SE=\frac{1}{3}BE$. 又 $OB = 3$，所以 $OF=\frac{1}{3}OB = 1$. 因为 $SO\perp OC$，$SO = OC = 3$，所以 $SC = 3\sqrt{2}$. 因为 $SO\perp OF$，所以 $SF=\sqrt{SO^{2}+OF^{2}}=\sqrt{10}$. 因为 $OC\perp OF$，所以 $CF=\sqrt{10}$. 所以在等腰 $\triangle SCF$ 中，$\tan\angle CSF=\frac{\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{11}}{3}$. 即异面直线 $SC$ 与 $OE$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{11}}{3}$.