《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 直接利用公式法求体积
[例4]（1）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积是（ ）
A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$ B. 4$\sqrt{2}\pi$ C. 4$\sqrt{3}\pi$ D. $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$
（2）（2021·新高考Ⅱ卷）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A. 20 + 12$\sqrt{3}$ B. 28$\sqrt{2}$
C. $\frac{56}{3}$ D. $\frac{28\sqrt{2}}{3}$
（3）（2024·娄底模拟）一实心圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在圆柱内挖去两个半球，这两个半球是以圆柱的两个底面圆的圆心为球心，底面圆的半径为半径的半球，则剩余几何体的体积为（ ）
A. $\frac{\pi}{3}$ B. $\frac{\pi}{2}$ C. $\frac{2\pi}{3}$ D. $\frac{5\pi}{6}$

答案：
(1)D 由题意，知该半圆的弧长为4π.又该半圆的弧长为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，所以4π = 2πr，所以r = 2.由题意可知，该圆锥的母线长为4，则圆锥的高h = √{4² - 2²}=2√3，所以该圆锥的体积V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$×π×2²×2√3=$\frac{8\sqrt{3}π}{3}$.
(2)D 易求得该棱台的高h = √2，下底面积S_{1}=16，上底面积S_{2}=4，所以该棱台的体积V=$\frac{1}{3}$h(S_{1}+S_{2}+√{S_{1}S_{2}})=$\frac{1}{3}$×√2×(16 + 4 + √64)=$\frac{28\sqrt{2}}{3}$.
(3)C 剩余几何体的体积为π×1²×2 - $\frac{4π}{3}$×1³×$\frac{1}{2}$×2=$\frac{2π}{3}$.

角度2 等积法求体积
[例5]（2020·新高考Ⅱ卷）棱长为2的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱BB₁，AB的中点，则三棱锥A₁ - D₁MN的体积为______.

答案：
[解析]如图, 由正方体棱长为2及M，N分别为BB_{1}，AB的中点，得S_{△A_{1}MN}=2×2 - 2×$\frac{1}{2}$×2×1 - $\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3}{2}$，又易知D_{1}A_{1}为三棱锥D_{1}-A_{1}MN的高，且D_{1}A_{1}=2，所以V_{A_{1}-D_{1}MN}=V_{D_{1}-A_{1}MN}=$\frac{1}{3}$S_{△A_{1}MN}·D_{1}A_{1}=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×2 = 1.答案:1

角度3 割补法求体积
[例6]如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（ ）

A. 36$\pi$
B. 39$\pi$
C. 42$\pi$
D. 45$\pi$

答案：
B 将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS = 30°，则MS = 6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2√3，故圆柱底面的半径为√3，则容器内液体的体积为$\frac{1}{2}$×(10 + 16)×π×(√3)² = 13×π×3 = 39π.

对点训练
1. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 $km^{2}$；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 $km^{2}$. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（$\sqrt{7}\approx2.65$）（ ）
A. 1.0×10⁹ $m^{3}$
B. 1.2×10⁹ $m^{3}$
C. 1.4×10⁹ $m^{3}$
D. 1.6×10⁹ $m^{3}$

答案： 1.C 由已知该棱台的高为157.5 - 148.5 = 9(m)，所以该棱台的体积V=$\frac{1}{3}$×9×(140 + √{140×180}+180)×10^{6}=60×(16 + 3√7)×10^{6}≈60×(16 + 3×2.65)×10^{6}=1.437×10^{9}≈1.4×10^{9}(m³).

2. 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF//AB，EF = 2，则该多面体的体积为______.

答案：
2.[解析]如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH. 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E - ADG的高EG=$\frac{1}{2}$，直三棱柱AGD - BHC的高AB = 1，则AG = √{AE² - EG²}=√{1² - ($\frac{1}{2}$)²}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.取AD的中点M，连接MG，则MG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以S_{△AGD}=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以V_{多面体}=V_{E - ADG}+V_{F - BHC}+V_{AGD - BHC}=2V_{E - ADG}+V_{AGD - BHC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{1}{2}$×2 + $\frac{\sqrt{2}}{4}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$.答案:$\frac{\sqrt{2}}{3}$

3. 如图所示，已知多面体ABC - DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB = AD = DG = 2，AC = EF = 1，则该多面体的体积为__________.

答案：
3.[解析]方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH - ABC和一个斜三棱柱BEF - CHG.由题意，知V_{三棱柱DEH - ABC}=S_{△DEH}×AD=$\frac{1}{2}$×2×1×2 = 2，V_{三棱柱BEF - CHG}=S_{△BEF}×DE=$\frac{1}{2}$×2×1×2 = 2.故所求几何体的体积V_{多面体ABC - DEFG}=2 + 2 = 4. 方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V_{正方体ABHI - DEKG}=2³ = 8，故所求几何体的体积V_{多面体ABC - DEFG}=$\frac{1}{2}$×8 = 4. 答案:4