《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.（必修第一册P18例1变条件）已知a∈R，则“a＞1”是“a²＞1”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 由不等式的性质，当a＞1时，一定有a²＞1；当a²＞1时，有a＞1或a＜－1，不能得到a＞1. 则“a＞1”是“a²＞1”的充分不必要条件.

3.（2023·天津高考）“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B a²=b²，即(a + b)(a - b)=0，解得a = -b或a = b；a² + b² = 2ab，即(a - b)² = 0，解得a = b；故“a² = b²”不能推出“a² + b² = 2ab”，充分性不成立. “a² + b² = 2ab”能推出“a² = b²”，必要性成立. 故“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的必要不充分条件.

4.（不能正确运用充要关系建立不等关系致误）若x² - x - 2＜0是 - 2＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是 （ ）
A. - 1
B.0
C.1
D.2

答案： D 由x² - x - 2＜0得－1＜x＜2，因此，若x² - x - 2＜0是－2＜x＜a的充分不必要条件，所以(－1,2)⫋(－2,a)，则a≥2.

[例1]（1）（2024·绍兴模拟）“x＞1”是“x≥0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 由x＞1，则x≥0必成立，充分性成立；而x≥0，x＞1不一定成立，必要性不成立；所以“x＞1”是“x≥0”的充分不必要条件.

（2）“a = b”是“|a| = |b|”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 若a = b成立，由向量相等得到两向量的长度、方向都相同，即有|a| = |b|，反之，若|a| = |b|成立，两个向量的方向不同，则推不出a = b. 所以“a = b”是“|a| = |b|”的充分不必要条件.

（3）（2024·潍坊模拟）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.
正确命题的序号是 （ ）
A.①④
B.①②
C.②③
D.②④

答案： B 由p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p⇒r，r推不出p，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以r⇔q，故r是q的充要条件，①正确；p⇒q，q推不出p，故p是q的充分不必要条件，②正确；r⇔q，故r是q的充要条件，③错误；r⇔s，故r是s的充要条件，④错误.

（4）（2024·南京模拟）已知p：关于x的方程ax² + bx + c = 0有两个异号实数根，q：ac＜ - 1，则p是q的__________条件.

答案： [解析]若关于x的方程ax² + bx + c = 0有两个异号实数根，则$\begin{cases}a\neq0\\\Delta = b² - 4ac＞0\\\frac{c}{a}＜0\end{cases}$，得ac＜0，推不出ac＜－1；若ac＜－1，则可以推出ac＜0，则a≠0，$\frac{c}{a}＜0$，$\Delta = b² - 4ac＞0$，则关于x的方程ax² + bx + c = 0有两个异号实数根，所以p是q的必要不充分条件. 答案：必要不充分

对点训练
1.设集合A = {x|x - 2＞0}，B = {x|x＜0}，C = {x|x² - 2x＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C 因为A = {x|x - 2＞0} = {x|x＞2}，B = {x|x＜0}，所以A∪B = {x|x＞2或x＜0}，因为C = {x|x² - 2x＞0} = {x|x＞2或x＜0}，所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

2.（2024·哈尔滨模拟）“θ = $\frac{\pi}{4}$ + 2kπ（k∈Z）”是“sinθ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$”成立的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 若$\theta = \frac{\pi}{4}+2k\pi(k\in Z)$，则$\sin\theta=\sin(\frac{\pi}{4}+2k\pi)=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},k\in Z$；若$\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不一定有$\theta = \frac{\pi}{4}+2k\pi(k\in Z)$，例如$\theta = \frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in Z)$，则$\sin\theta=\sin(\frac{3\pi}{4}+2k\pi)=\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},k\in Z$；综上所述：“$\theta = \frac{\pi}{4}+2k\pi(k\in Z)$”是“$\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$”成立的充分不必要条件.

3.（2024·北京模拟）在人类中，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型为AA或Aa时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为aa时，这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A 若父母均为单眼皮，则父母的基因一定为aa和aa，孩子就一定是单眼皮. 若孩子为单眼皮，则父母的基因可能是Aa和Aa，即父母均为双眼皮，故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.

[例2]（1）（2024·商洛模拟）“不等式x² + 2x - m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是 （ ）
A.m＜ - 1
B.m＞4
C.2＜m＜3
D. - 1＜m＜2

答案： A 因为“不等式x² + 2x - m≥0在R上恒成立”，所以等价于二次方程x² + 2x - m = 0的判别式$\Delta = 4 + 4m\leq0$，即m≤－1. 所以A选项，m＜－1是m≤－1的充分不必要条件，A正确；B选项中，m＞4不可推导出m≤－1，故B不正确；C选项中，2＜m＜3不可推导出m≤－1，故C不正确；D选项中，－1＜m＜2不可推导出m≤－1，故D不正确.

（2）金榜原创·易错对对碰
①已知P = {x|x² - 8x - 20≤0}，非空集合S = {x|1 - m≤x≤1 + m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是__________.
②已知P = {x|x² - 8x - 20≤0}，非空集合S = {x|1 - m≤x≤1 + m}，若¬P是¬S的必要不充分条件，则m的取值范围是__________.

答案： ①[解析]由x² - 8x - 20≤0，得－2≤x≤10，所以P = {x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，则$\begin{cases}1 - m\leq1 + m\\1 - m\geq - 2\\1 + m\leq10\end{cases}$，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]. 答案：[0,3]②[解析]由已知可得P = {x|－2≤x≤10}，因为¬P是S的必要不充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以x∈P⇒x∈S且x∈S⇏x∈P. 所以[－2,10]⫋[1 - m,1 + m]. 所以$\begin{cases}1 - m\leq - 2\\1 + m＞10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m＜ - 2\\1 + m\geq10\end{cases}$，所以m≥9，即m的取值范围是[9,+∞). 答案：[9,+∞)