《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 设函数f(x) = $\begin{cases}3x - b，x＜1，\\ 2^x，x≥1.\end{cases}$若f(f($\frac{5}{6}$)) = 4，则b = ( )
A. 1
B. $\frac{7}{8}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： 1. D f(5/6) = 3×5/6 - b = 5/2 - b，若5/2 - b＜1，即b＞3/2时，则f(f(5/6)) = f(5/2 - b) = 3(5/2 - b) - b = 4，解得b = 7/8，不合题意舍去. 若5/2 - b≥1，即b≤3/2时，则$2^(5/2 - b) = 4，$解得b = 1/2.

2. 已知f(x) = $\begin{cases}f(x - 1)，x＞0，\\ -\ln(x + e) + 2，x≤0，\end{cases}$则f(2024) = ________.

答案： 2. 【解析】因为f(x) = {f(x - 1)，x＞0，-ln(x + e) + 2，x≤0}，所以f
(2024) = f
(2023) = f
(2022) = … = f
(1)，又f
(1) = f(1 - 1) = f
(0)，f
(0) = -ln(0 + e) + 2 = -1 + 2 = 1，所以f
(2024) = 1.
答案：1

[例4](1)已知函数f(x) = $\begin{cases}2^x，x＞0，\\ x + 1，x≤0.\end{cases}$若f(a) + f(1) = 0，则实数a的值为 ( )
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
(2)(一题多法)设函数f(x) = $\begin{cases}x + 1，x≤0，\\ 2^x，x＞0，\end{cases}$则满足f(x) + f(x - $\frac{1}{2}$)＞1的x的取值范围是 ________.

答案：
[例4]
(1)A 因为f
(1) = 2^1 = 2，所以f(a) + 2 = 0，所以f(a) = -2. 当a≤0时，f(a) = a + 1 = -2，所以a = -3；当a>0时，f(a) = 2^a = -2，方程无解. 综上，a = -3.
(2)【解析】方法一：当x>1/2时，2^x + 2^(x - 1/2)>1恒成立，所以x>1/2，当01，即2^x + x>1/2恒成立，所以01，解得 -1/41变形为f(x - 1/2)>1 - f(x)，令y1 = f(x - 1/2)，y2 = 1 - f(x)，作出两个函数的图象如图所示： 由图象可知，满足f(x - 1/2)>1 - f(x)的x的取值范围是(-1/4，+∞). 答案：(-1/4，+∞) 

1. 设函数f(x) = $\begin{cases}x² + 2x，x≤0，\\ -x²，x＞0，\end{cases}$若f(f(a)) - f(a) + 2 = 0，则实数a的值为 ( )
A. $\sqrt{2}$ - 1
B. -$\sqrt{2}$ - 1
C. $\sqrt{2}$ + 1
D. -$\sqrt{2}$ + 1

答案： 考点四【对点训练】1. B 令f(a) = t，f(f(a)) - f(a) + 2 = 0，则f(t) = t - 2，①t≤0时，$t^2 + 2t = t - 2，$则$t^2 + t + 2 = 0$无解；②t＞0时，$-t^2 = t - 2，$所以t = 1，所以f(a) = 1. a≤0时，$a^2 + 2a = 1，$则a = -√2 - 1；a＞0时，$-a^2 = 1$无解，综上，a = -√2 - 1.

2. 设函数f(x) = $\begin{cases}2^{-x}，x＜0，\\ 1，x≥0，\end{cases}$则满足f(x + 1)＜f(2x)的x的取值范围是 ( )
A. (-∞，-1]
B. (0，+∞)
C. (-1，0)
D. (-∞，0)

答案：
考点四【对点训练】2. D 函数f(x)的图象如图所示，

结合图象知，要使f(x + 1)＜f(2x)，则需{2x＜0，2x＜x + 1}，所以x＜0.

3. 已知函数f(x) = $\begin{cases}-x² + 2，x≤1，\\ x + \frac{1}{x} - 1，x＞1，\end{cases}$则f(f($\frac{1}{2}$)) = __________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b - a的最大值是____________.

答案： 考点四【对点训练】3. 【解析】由已知得$f(1/2) = -(1/2)^2 + 2 = 7/4，$f(7/4) = 7/4 + 4/7 - 1 = 37/28，所以f(f(1/2)) = 37/28. 当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得$1≤ -x^2 + 2≤3，$所以 -1≤x≤1；当x＞1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x + 1/x - 1≤3，所以1＜x≤2 + √3. 综上，-1≤x≤2 + √3，所以b = 2 + √3，a∈[-1，1]，所以b - a的最大值为3 + √3.
答案：37/28 3 + √3