《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.已知点 $A(-1,2)$，$B(3,1)$，向量 $\overrightarrow{AC}=(2,1)$，则向量 $\overrightarrow{BC}=$ (　　　)
A. $(-2,2)$
B. $(-1,0)$
C. $(3,-1)$
D. $(4,-1)$

答案： A 设 $C(x,y)$，则 $\overrightarrow{AC}=(x,y)-(-1,2)=(2,1)$，故 $\begin{cases}x + 1 = 2\\y - 2 = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$，所以 $C(1,3)$. 又因为 $B(3,1)$，所以 $\overrightarrow{BC}=(1,3)-(3,1)=(-2,2)$.

2.已知向量 $a$，$b$，$c$在正方形网格中的位置如图所示，用基底 $\{a,b\}$表示 $c$，则 (　　　)
A. $c = 2a - 3b$ B. $c = -2a - 3b$
C. $c = -3a + 2b$ D. $c = 3a - 2b$
　　　

答案：
D 如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为 1，

则 $A(1,0)$，$B(2,1)$，$C(0,4)$，$D(7,1)$，所以 $a=(1,1)$，$b=(-2,3)$，$c=(7,-3)$，设向量 $c = ma+nb$，则 $c = ma+nb=(m - 2n,m + 3n)=(7,-3)$，则 $\begin{cases}m - 2n = 7\\m + 3n = - 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 3\\n = - 2\end{cases}$，所以 $c = 3a - 2b$.

[例3](1)已知点 $A(1,2)$，$B(-2,6)$，则与向量 $\overrightarrow{AB}$方向相反的单位向量为 (　　　)
A. $(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ B. $(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$
C. $(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ D. $(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$
(2)已知两点 $A(3,-4)$，$B(-9,2)$，点 $P$在直线 $AB$上，且 $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则点 $P$的坐标为__________.

答案： [例 3]
(1)B 由点 $A(1,2)$，$B(-2,6)$，可得 $\overrightarrow{AB}=(-3,4)$，则 $|\overrightarrow{AB}| = 5$，所以与向量 $\overrightarrow{AB}$ 方向相反的单位向量为 $-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=-\frac{1}{5}×(-3,4)=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$.
(2)【解析】由题知 $A(3,-4)$，$B(-9,2)$，可得 $\overrightarrow{AB}=(-12,6)$，设 $P(x,y)$，因为 $\overrightarrow{AP}=(x - 3,y + 4)$，$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，所以 $(x - 3,y + 4)=(-6,3)$，得 $\begin{cases}x - 3 = - 6\\y + 4 = 3\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = - 3\\y = - 1\end{cases}$，所以点 $P$ 的坐标为 $(-3,-1)$. 答案：$(-3,-1)$

[例4](1)已知向量 $\overrightarrow{OA}=(k,12)$，$\overrightarrow{OB}=(4,5)$，$\overrightarrow{OC}=(-k,10)$，且 $A$，$B$，$C$三点共线，则 $k=$__________.
(2)(一题多法)已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(3,4)$，若 $(3a - b)//(a + kb)$，则 $k=$__________.

答案： [例 4]
(1)【解析】$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4 - k,-7)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2k,-2)$. 因为 $A$，$B$，$C$ 三点共线，所以 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ 共线，所以 $-2×(4 - k)=-7×(-2k)$，解得 $k=-\frac{2}{3}$. 答案：$-\frac{2}{3}$
(2)【解析】方法一：$3a - b=(3,-6)-(3,4)=(0,-10)$，$a + kb=(1 + 3k,-2 + 4k)$，因为 $(3a - b)//(a + kb)$，所以 $0 + 10(1 + 3k)=0$，解得 $k=-\frac{1}{3}$. 方法二：因为 $1×4\neq(-2)×3$，所以 $a$ 与 $b$ 不平行，由 $(3a - b)//(a + kb)$ 得 $\frac{3}{1}=\frac{-1}{k}$，解得 $k=-\frac{1}{3}$. 答案：$-\frac{1}{3}$

对点训练
1.(2023·曲靖模拟)已知向量 $a=(2,2)$，$b=(1,x)$，若 $b//(a + 2b)$，则 $\vert b\vert=$ (　　　)
A. $\sqrt{2}$
B.2
C. $2\sqrt{2}$
D.4

答案： A $a + 2b=(4,2 + 2x)$，则 $1×(2x + 2)=4×x$，得 $x = 1$，$b=(1,1)$，$|b|=\sqrt{2}$.

2.已知两个非零向量 $a$与 $b$不共线.
(1)若 $ka + b$与 $a + kb$平行，求实数 $k$的值；
(2)若 $a=(1,3)$，$b=(x,1)$，$c = a + 2b$且 $\vert c\vert = 5\sqrt{2}$，求 $x$.

答案： 【解析】
(1)因为 $ka + b$ 与 $a + kb$ 平行，且 $a$ 与 $b$ 不共线，所以 $ka + b=\lambda(a + kb)=\lambda a+\lambda kb$，所以 $\begin{cases}k=\lambda\\1=\lambda k\end{cases}$，解得 $k=\pm 1$.
(2)因为 $c=a + 2b=(1,3)+2(x,1)=(1 + 2x,5)$，所以 $|c|=\sqrt{(1 + 2x)^2 + 25}=5\sqrt{2}$，解得 $x = 2$ 或 $-3$. 经检验，均满足 $a$ 与 $b$ 不共线，故 $x = 2$ 或 $-3$.