《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为$|\boldsymbol{v}_{1}| = 8$km/h，水流速度的大小为$|\boldsymbol{v}_{2}| = 4$km/h，设$\boldsymbol{v}_{1}$和$\boldsymbol{v}_{2}$的夹角为$\theta(0^{\circ}＜\theta＜180^{\circ})$，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，$\cos\theta =$（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$

答案：
D 设游船的实际速度为$\boldsymbol{v}$，则$\boldsymbol{v}$ = $\boldsymbol{v}_{1}$ + $\boldsymbol{v}_{2}$，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则$\boldsymbol{v}$⊥$\boldsymbol{v}_{2}$，所以$\boldsymbol{v}$·$\boldsymbol{v}_{2}$ = 0。
即($\boldsymbol{v}_{1}$ + $\boldsymbol{v}_{2}$)·$\boldsymbol{v}_{2}$ = |$\boldsymbol{v}_{1}$||$\boldsymbol{v}_{2}$|cosθ + |$\boldsymbol{v}_{2}$|² = 32cosθ + 16 = 0，解得cosθ = -$\frac{1}{2}$。

考点三 平面向量与三角函数的综合
[例3]
(1)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量$\boldsymbol{m}=(a + b,\sin C)$，$\boldsymbol{n}=(\sqrt{3}a + c,\sin B - \sin A)$，若$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n}$，则角B的大小为__________.
(2)(2023·天水模拟)已知向量$\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\boldsymbol{b}=(\cos\beta,-\sin\beta)$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
①求$\cos(\alpha + \beta)$的值；
②若$0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，$-\frac{\pi}{2}＜\beta＜0$，且$\sin\beta = -\frac{5}{13}$，求$\sin\alpha$的值.

答案：
(1)[解析]因为$\boldsymbol{m}$//$\boldsymbol{n}$，
所以(a + b)(sin B - sin A) - sin C($\sqrt{3}$a + c) = 0。
由正弦定理有(a + b)(b - a) = c($\sqrt{3}$a + c)，即a² + c² - b² = -$\sqrt{3}$ac。
再由余弦定理，得cos B = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以B = 150°。
答案:150°
(2)[解析]①根据题意可知|$\boldsymbol{a}$| = $\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}$ = 1，|$\boldsymbol{b}$| = $\sqrt{\cos^{2}\beta+\sin^{2}\beta}$ = 1。
且$\boldsymbol{a}$·$\boldsymbol{b}$ = cosαcosβ - sinαsinβ。
由|$\boldsymbol{a}$ - $\boldsymbol{b}$| = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$可得|$\boldsymbol{a}$|² - 2$\boldsymbol{a}$·$\boldsymbol{b}$ + |$\boldsymbol{b}$|² = $\frac{4}{5}$。
即2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ) = $\frac{4}{5}$。
可得cos(α + β) = $\frac{3}{5}$。
②由-$\frac{\pi}{2}$＜β＜0，且sinβ = -$\frac{5}{13}$，可得cosβ = $\frac{12}{13}$。
又cosβ = $\frac{12}{13}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = cos(-$\frac{\pi}{6}$)，所以-$\frac{\pi}{6}$＜β＜0。
因此-$\frac{\pi}{6}$＜α + β＜$\frac{\pi}{2}$。
由①得cos(α + β) = $\frac{3}{5}$，所以0＜α + β＜$\frac{\pi}{2}$。
因此sin(α + β) = $\frac{4}{5}$。
所以sinα = sin[(α + β) - β] = sin(α + β)cosβ - cos(α + β)sinβ = $\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$ - $\frac{3}{5}$×(-$\frac{5}{13}$) = $\frac{63}{65}$。

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\boldsymbol{m}=(\sin A,\sin B)$，$\boldsymbol{n}=(\cos B,\cos A)$，$\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}=\sin 2C$.
(1)求角C的大小；
(2)若$\sin A$，$\sin C$，$\sin B$成等差数列，且$\overrightarrow{CA}\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}) = 18$，求c.

答案： [解析]
(1)$\boldsymbol{m}$·$\boldsymbol{n}$ = sin A·cos B + sin B·cos A = sin(A + B)。
在△ABC中，A + B = π - C，0＜C＜π。
所以sin(A + B) = sin C。
所以$\boldsymbol{m}$·$\boldsymbol{n}$ = sin C = sin 2C，所以cos C = $\frac{1}{2}$。
又因为C∈(0,π)，故C = $\frac{\pi}{3}$。
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C = sin A + sin B，由正弦定理得2c = a + b。
因为$\overrightarrow{CA}$·($\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{AC}$) = 18，所以$\overrightarrow{CA}$·$\overrightarrow{CB}$ = 18。
即abcos C = 18，所以ab = 36。
由余弦定理得c² = a² + b² - 2abcos C = (a + b)² - 3ab = 4c² - 3×36，所以c = 6。