《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例5]如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，DE = 2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.
（1）若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小；
（2）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

答案：
[例5][解析]
(1)由折叠的性质得$CD⊥DE,A_1D⊥DE.$又因为$CD∩A_1D = D,$所以DE⊥平面$A_1CD.$又因为$A_1C⊂$平面$A_1CD,$所以$A_1C⊥DE.$又$A_1C⊥CD,CD∩DE = D,$所以$A_1C⊥$平面BCDE.建系如图,则$C(0,0,0),D(-2,0,0),A_1(0,0,2\sqrt{3}),E(-2,2,0),B(0,3,0),$

所以AB=(0,3,−2√3),AE=(−2,2,−2√3).

　设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),

　则{AABE..nn==00’所以{3−y−2x2+2$\sqrt{3}$y−=20$\sqrt{3}$-0 取=　$\sqrt{3}$,则x=−1,y=2,所以n=(−1,2,$\sqrt{3}$)为平面A1BE的一个法向量.

　又因为M(−1,0,√3),

　所以CM=(−1,0$\sqrt{3}$),

　　　　　　　　

　所以cos＜CM,n)=$\frac{CM.n}{|CM||}$

　=$\frac{1+3}{√1+4+3×\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

　所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.

　
(2)假设线段BC上存在点P满足条件,

　设P点坐标为(0,a,0),a∈[0,3],

　所以AP=(0,a,−2√3),DP=(2,a,0).

　设平面ADP的一个法向量为n=(x1,y1,x1),

　则{a2.yx11−+2ay$\sqrt{3}$1=10=0,

　取y1=6,则x=−3a,21=$\sqrt{3}$a,

　所以n1=(−3a,6,√3a).

　若平面ADP与平面ABE垂直，则n1.n =0,

　所以3a+12+3a=0,即6a=−12,

　所以a=−2.

　因为0≤a≤3,所以a=−2舍去.

　所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.

对点训练
如图，四棱锥S - ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$\sqrt{2}$倍，P为侧棱SD上的点.
（1）求证：AC⊥SD.
（2）若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

答案：
[对点训练]
[解析]
(1)连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设底面边长为a,则$SO=\frac{\sqrt{6}}{2}a,$所以$S(0,0,\frac{\sqrt{6}}{2}a),D(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,0),B(\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,0),C(0,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0),$所以$\overrightarrow{OC}=(0,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0),\overrightarrow{SD}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,-\frac{\sqrt{6}}{2}a),$则$\overrightarrow{OC}·\overrightarrow{SD}=0.$故OC⊥SD.所以AC⊥SD.
(2)侧棱SC上存在一点E使得BE//平面PAC,此时SE:EC = 2:1.理由如下:由已知条件知$\overrightarrow{DS}$是平面PAC的一个法向量,且$\overrightarrow{DS}=(\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,\frac{\sqrt{6}}{2}a),\overrightarrow{CS}=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{6}}{2}a),\overrightarrow{BC}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0).$设$\overrightarrow{CE}=t\overrightarrow{CS}(0＜t≤1),$则$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}+t\overrightarrow{CS}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a(1 - t),\frac{\sqrt{6}}{2}at),$又因为$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{DS}=0,$所以$\frac{\sqrt{2}}{2}a×(-\frac{\sqrt{2}}{2}a)+\frac{\sqrt{6}}{2}a×\frac{\sqrt{6}}{2}at = 0,$所以$t=\frac{1}{3}.$即当SE:EC = 2:1时$,\overrightarrow{BE}\perp\overrightarrow{DS}.$而BE⊄平面PAC,故BE//平面PAC.