《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例2 ]（1）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1}(n\geqslant2),a_{2}+a_{4}+a_{6}=12,a_{1}+a_{3}+a_{5}=9$，则$a_{3}+a_{4}=$（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： B 因为$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1}(n\geq2)$,所以$\{a_{n}\}$是等差数列.由等差数列的性质可得$a_{2}+a_{4}+a_{6}=3a_{4}=12$,$a_{1}+a_{3}+a_{5}=3a_{3}=9$,所以$a_{4}=4$,$a_{3}=3$,所以$a_{3}+a_{4}=3 + 4=7$.

（2）设等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，且$S_{9}=18,a_{n - 4}=30(n＞9)$，若$S_{n}=336$，则n的值为（ ）
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21

答案： D 因为$\{a_{n}\}$是等差数列,所以$S_{9}=9a_{5}=18$,$a_{5}=2$,$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(a_{5}+a_{n - 4})}{2}=\frac{n}{2}\times32=16n=336$,解得$n = 21$.

[例3 ]（1）设等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，若$S_{3}=9,S_{6}=36$，则$a_{7}+a_{8}+a_{9}$等于（ ）
A. 63
B. 45
C. 36
D. 27

答案： B 由$\{a_{n}\}$是等差数列,得$S_{3}$,$S_{6}-S_{3}$,$S_{9}-S_{6}$为等差数列,即$2(S_{6}-S_{3})=S_{3}+(S_{9}-S_{6})$,得到$S_{9}-S_{6}=2S_{6}-3S_{3}=45$.

（2）已知两个等差数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的前n项和分别为$A_{n}$和$B_{n}$，且$\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{3n + 1}{n + 1}$，则$\frac{a_{2}+a_{5}+a_{8}}{b_{3}+b_{7}}=$________.

答案： [解析]因为数列$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$为等差数列,且前$n$项和分别为$A_{n}$和$B_{n}$,则$\frac{a_{2}+a_{5}+a_{8}}{b_{3}+b_{7}}=\frac{3a_{5}}{2b_{5}}$,且$\frac{a_{5}}{b_{5}}=\frac{\frac{9(a_{1}+a_{9})}{2}}{\frac{9(b_{1}+b_{9})}{2}}=\frac{A_{9}}{B_{9}}$,又$\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{3n + 1}{n + 1}$,所以$\frac{a_{5}}{b_{5}}=\frac{A_{9}}{B_{9}}=\frac{3\times9 + 1}{9 + 1}=\frac{14}{5}$,所以$\frac{a_{2}+a_{5}+a_{8}}{b_{3}+b_{7}}=\frac{3a_{5}}{2b_{5}}=\frac{3}{2}\times\frac{14}{5}=\frac{21}{5}$.
答案:$\frac{21}{5}$

[例4 ]（一题多法）等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=13,S_{3}=S_{11}$，当$S_{n}$最大时，n的值是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： C 方法一(邻项变号法):由$S_{3}=S_{11}$,得$a_{4}+a_{5}+\cdots+a_{11}=0$,根据等差数列的性质,可得$a_{7}+a_{8}=0$.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到$a_{7}＞0$,$a_{8}＜0$,故$n = 7$时$S_{n}$最大.
方法二(函数法):由$S_{3}=S_{11}$,可得$3a_{1}+3d=11a_{1}+55d$,把$a_{1}=13$代入,得$d=-2$,故$S_{n}=13n - n(n - 1)=-n^{2}+14n$.根据二次函数的性质,知当$n = 7$时$S_{n}$最大.
方法三(图象法):根据$a_{1}=13$,$S_{3}=S_{11}$,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前$n$项和是关于$n$的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当$n=\frac{3 + 11}{2}=7$时,$S_{n}$取得最大值.

对点训练
1. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，若$S_{5}=7,S_{10}=21$，则$S_{15}=$（ ）
A. 35
B. 42
C. 49
D. 63

答案： B 在等差数列$\{a_{n}\}$中,$S_{5}$,$S_{10}-S_{5}$,$S_{15}-S_{10}$成等差数列,即7,14,$S_{15}-21$成等差数列,所以$7+(S_{15}-21)=2\times14$,解得$S_{15}=42$.

2.（2023·重庆模拟）已知$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，若$a_{1}=-2020,\frac{S_{2020}}{2020}-\frac{S_{2014}}{2014}=6$，则$S_{2023}=$（ ）
A. 2023
B. -2023
C. 4046
D. -4046

答案： C 因为$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列,设公差为$d'$,则$\frac{S_{2020}}{2020}-\frac{S_{2014}}{2014}=6d'=6$,所以$d' = 1$,首项为$\frac{S_{1}}{1}=-2020$,所以$\frac{S_{2023}}{2023}=-2020+(2023 - 1)\times1=2$,所以$S_{2023}=2023\times2=4046$.

3. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=7$，公差为d，前n项和为$S_{n}$，当且仅当$n = 8$时$S_{n}$取得最大值，则d的取值范围为____________.

答案： 【解析】由题意,当且仅当$n = 8$时$S_{n}$有最大值,可得$\begin{cases}d＜0\\a_{8}＞0\\a_{9}＜0\end{cases}$,即$\begin{cases}d＜0\\7 + 7d＞0\\7 + 8d＜0\end{cases}$,解得$-1＜d＜-\frac{7}{8}$.
答案:$(-1,-\frac{7}{8})$

[例5 ]“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问自下而上第四节和第五节容积各是多少？”按此规律，自下而上第四节和第五节容积之和为（ ）
A. $\frac{47}{22}$
B. $\frac{131}{66}$
C. $\frac{127}{66}$
D. $\frac{113}{66}$

答案： A 依题意,令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列$\{a_{n}\}$,$n\in N^{*}$,$n\leq9$,其公差为$d$,于是得:$\begin{cases}a_{1}+a_{2}+a_{3}=4\\a_{7}+a_{8}+a_{9}=3\end{cases}$,即有$\begin{cases}3a_{5}-9d=4\\4a_{5}+10d=3\end{cases}$,解得$a_{5}=\frac{67}{66}$,$d=-\frac{7}{66}$,所以自下而上第四节和第五节容积之和为$a_{4}+a_{5}=2a_{5}-d=\frac{47}{22}$.

对点训练
我国二十四节气依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸，冬至到秋分七个节气的日影长之和为73.5寸，则立秋的日影长为（ ）
A. 1.5寸
B. 2.5寸
C. 3.5寸
D. 4.5寸

答案： D 因为从冬至到夏至的日影长等量减少,所以日影长可构成等差数列$\{a_{n}\}$,由题意可知$a_{1}+a_{3}+a_{5}=34.5$,则$3a_{3}=34.5$,故$a_{3}=11.5$,又$S_{7}=\frac{7}{2}(a_{1}+a_{7})=7a_{4}=73.5$,解得$a_{4}=10.5$,所以数列的公差为$d=a_{4}-a_{3}=-1$,$a_{1}=a_{4}-3d=10.5 + 3=13.5$,所以立秋的日影长为$a_{10}=a_{1}+9d=13.5 - 9=4.5$.