《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.（2024·乌鲁木齐模拟）一元二次方程ax² + 5x + 4 = 0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是a∈ （ ）
A.（ - ∞，0）
B.（0， + ∞）
C.（ - ∞，2）
D.（ - ∞， - 1）

答案： C 由题意，记方程ax² + 5x + 4 = 0(a≠0)的两根分别为x₁，x₂，因为一元二次方程ax² + 5x + 4 = 0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以$\begin{cases}x_1x_2=\frac{4}{a}＜0\\\Delta = 25 - 16a＞0\end{cases}$，解得a＜0，根据选项可得到a＜2是a＜0的必要不充分条件.

2.若关于x的不等式|x - 1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________.

答案： [解析]|x - 1|＜a⇒1 - a＜x＜1 + a，因为不等式|x - 1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，所以(0,4)⊆(1 - a,1 + a)，所以$\begin{cases}1 - a\leq0\\1 + a\geq4\end{cases}$，解得a≥3. 答案：[3,+∞)

角度1 含有量词的命题的否定
[例3]（2024·西安模拟）若命题p：∀x∈R，$\frac{1}{x - 2}$＜0，则¬p表述准确的是 （ ）
A.∃x∈R，$\frac{1}{x - 2}$≥0
B.∀x∈R，$\frac{1}{x - 2}$≥0
C.∃x∈R，$\frac{1}{x - 2}$＞0或x = 2
D.∀x∈R，$\frac{1}{x - 2}$＞0或x = 2

答案： C 全称量词命题的否定为存在量词命题，排除BD选项，其中$\frac{1}{x - 2}＜0$可解得x＜2，x＜2的否定应是x≥2，A选项中，$\frac{1}{x - 2}\geq0$可解得x＞2，故A选项错误，C选项正确.

角度2 含量词命题真假的判断
[例4]（2024·沈阳模拟）下列命题中为真命题的是 （ ）
A.∃x∈R，$\frac{1}{2^x}$≤1
B.对于∀x∈R，n∈N*且n＞1，都有$\sqrt[n]{x^n}$ = x
C.∀x∈R，ln(x - 1)²≥0
D.∃x∈R，ln x≥x - 1

答案： AD 当x≥0时，0＜$\frac{1}{2^x}\leq1$，故A选项是真命题；当n为偶数，且x＜0时，$\sqrt[n]{x} = - x$，故B选项是假命题；当x = 1时，ln(x - 1)²无意义，故C选项是假命题；当x = 1时，ln x≥x - 1，故D选项是真命题.

角度3 含量词命题的应用
[例5]金榜原创·易错对对碰
①若命题“对∀x∈R，ax² - ax - 1＜0”是真命题，则a的取值范围是__________.
②若命题“∃x∈R，使得3x² + 2ax + 1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是__________.

答案： $①[$解析$]“$对$∀x∈R，$$ax² - ax - 1＜0”$是真命题，当$a = 0$时，则有$－1＜0；$当$a≠0$时，则有$a＜0$且$\Delta = (- a)² - 4×a×(- 1)=a² + 4a＜0，$解得$－4＜a＜0，$综上所述，实数$a$的取值范围是$(－4,0]. $答案：$(－4,0]②$命题$“∃x∈R，$使得$3x² + 2ax + 1＜0”$是假命题，即$“∀x∈R，$$3x² + 2ax + 1≥0”$是真命题，故$\Delta = 4a² - 12\leq0，$解得$-\sqrt{3}\leq a\leq\sqrt{3}. $即实数$a$的取值范围为$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]. $答案：$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$　　

对点训练
1.（2024·潮州模拟）下列各命题的否定为真命题的是 （ ）
A.∀x∈R，x² - x + $\frac{1}{4}$≥0
B.∃x∈R，$2^x＞x²$
C.∃x∈R，($\frac{1}{3}$)^x＞log₂x
D.∀x∈[0，$\frac{\pi}{2}$]，sin x＜x

答案： D 对于A，命题“∀x∈R，$x² - x + \frac{1}{4}≥0”$的否定为“∃x∈R，$x² - x + \frac{1}{4}＜0”，$由$x² - x + \frac{1}{4}=(x - \frac{1}{2})²≥0$恒成立，则命题“∃x∈R，$x² - x + \frac{1}{4}＜0”$是假命题，故A错误；对于B，命题“∃x∈R，$2^x＞x²”$的否定为“∀x∈R，$2^x≤x²”，$当x = 0时，$2^0 = 1＞0² = 0，$则命题“∀x∈R，$2^x≤x²”$是假命题，故B错误；对于C，命题“∃x∈R，$(\frac{1}{3})^x＞log₂x”$的否定为“∀x∈R，$(\frac{1}{3})^x≤log₂x”，$当$x = \frac{1}{2}$时，$log₂\frac{1}{2}= - 1＜0＜(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}，$则命题“∀x∈R，$(\frac{1}{3})^x≤log₂x”$为假命题，故C错误；对于D，命题$“∀x∈[0,\frac{\pi}{2}]，$sin x＜x”的否定为$“∃x∈[0,\frac{\pi}{2}]，$sin x≥x”，当x = 0时，sin 0 = 0，则命题$“∃x∈[0,\frac{\pi}{2}]，$sin x≥x”是真命题，故D正确.

2.（2024·银川模拟）若命题“∃x∈[ - 1，2]，x - a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是____________________.

答案： [解析]“∃x∈[－1,2]，x - a＞0”是假命题，则它的否定命题：“∀x∈[－1,2]，x - a≤0”是真命题；所以x∈[－1,2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2,+∞). 答案：[2,+∞)