《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
(2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q - ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA = $\sqrt{5}$，QC = 3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求平面BQD与平面AQD夹角的余弦值.

答案：
[解析]
(1)取AD的中点为O，连接QO，CO。

　因为QA=QD，OA=OD，则QO⊥AD。
　又AD=2，QA=√5，故QO=√(5 - 1)=2。在Rt△ODC中，CO=√(OD² + CD²)=√5
　因为QC=3，故QC²=QO² + OC²，故△QOC 为直角三角形且QO⊥OC。
　因为OC∩AD=O，OC,AD⊂平面ABCD，故QO⊥平面ABCD。
　因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD。
(2)在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC 于T，则OT⊥AD，结合
(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间直角坐标系，
　则D(0,1,0)，Q(0,0,2)，B(2,-1,0)，
　故BQ=(-2,1,2)，BD=(-2,2,0)。
　设平面QBD的法向量为n=(x,y,z)，
　则{n·BQ=0，n·BD=0，即{-2x + y + 2z = 0，-2x + 2y = 0，
　取x=1，则y=1，z=1/2，
　故n=(1,1,1/2)。
　易知平面QAD的一个法向量为m=(1,0,0)，
故cos＜m,n＞=m·n/|m||n|=1/(1×3/2)=2/3，
　所以平面BQD与平面AQD夹角的余弦值为2/3。