《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

例1 (1)函数$f(x)=2\log_{4}(1 - x)$的大致图象是 ( )

答案： C 方法一：函数$f(x)=2\log_{4}(1 - x)$的定义域为$(-\infty,1)$，排除A，B；函数$f(x)=2\log_{4}(1 - x)$在定义域上单调递减，排除D.
方法二(特值法)：分别取$x=\frac{1}{2}$及$x = - 1$验证即可.

例1 (2)金榜原创·易错对对碰
①当$x\in(0,\frac{1}{4}]$时，$\sqrt{x}＜\log_{a}x$，则实数$a$的取值范围为________.
②当$x\in(0,\frac{1}{4}]$时，方程$\sqrt{x}=\log_{a}x$有解，则实数$a$的取值范围为________.

答案： 【解析】①若$\sqrt{x}＜\log_{a}x$在$x\in(0,\frac{1}{4}]$时成立，则$0 ＜ a ＜ 1$，且$y = \sqrt{x}$的图象在$y=\log_{a}x$图象的下方，则$\sqrt{\frac{1}{4}}＜\log_{a}\frac{1}{4}$，所以$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 1\\a^{\frac{1}{2}}＞\frac{1}{4}\end{cases}$，解得$\frac{1}{16}＜a＜1$.
即实数$a$的取值范围是$(\frac{1}{16},1)$.
答案：$(\frac{1}{16},1)$
②构造函数$f(x)=\sqrt{x}$和$g(x)=\log_{a}x$，当$a＞1$时，不满足条件；当$0 ＜ a ＜ 1$时，由①可知，只需两图象在$(0,\frac{1}{4}]$上有交点即可.则$f(\frac{1}{4})\geqslant g(\frac{1}{4})$，即$\sqrt{\frac{1}{4}}\geqslant\log_{a}\frac{1}{4}$，得$a\leqslant\frac{1}{16}$，所以$a$的取值范围为$(0,\frac{1}{16}]$.
答案：$(0,\frac{1}{16}]$

对点训练1. (2023·东城区质检)函数$y=\log_{a}x$与$y=-x + a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

答案： A 当$a＞1$时，函数$y=\log_{a}x$的图象为选项B，D中过点$(1,0)$的曲线，此时函数$y=-x + a$的图象与$y$轴的交点的纵坐标$a$应满足$a＞1$，选项B，D中的图象都不符合要求；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$y=\log_{a}x$的图象为选项A，C中过点$(1,0)$的曲线，此时函数$y=-x + a$的图象与$y$轴的交点的纵坐标$a$应满足$0 ＜ a ＜ 1$，只有选项A中的图象符合要求.

对点训练2. 已知函数$f(x)=|\log_{2}x|$，实数$a,b$满足$0 ＜ a ＜ b$，且$f(a)=f(b)$，若$f(x)$在$[a^{2},b]$上的最大值为2，则$\frac{1}{a}+b = $________.

答案：
【解析】因为$f(x)=|\log_{2}x|$，所以$f(x)$的图象如图所示，
　　　　　
又$f(a)=f(b)$且$0 ＜ a ＜ b$，所以$0 ＜ a ＜ 1$，$b＞1$且$ab = 1$，所以$a^{2}＜a$，由图知，$f(x)_{\max}=f(a^{2})=|\log_{2}a^{2}|=-2\log_{2}a = 2$，所以$a=\frac{1}{2}$，所以$b = 2$，所以$\frac{1}{a}+b = 4$.
答案：$4$

角度1 比较大小
例2 (1)设$a = 2^{0.1}$，$b=\ln\frac{5}{2}$，$c=\log_{3}\frac{9}{10}$，则$a,b,c$的大小关系是 ( )
A. $b ＞ c ＞ a$
B. $a ＞ c ＞ b$
C. $b ＞ a ＞ c$
D. $a ＞ b ＞ c$

答案： D 因为$a = 2^{0.1}＞2^{0}=1$，$0=\ln1 ＜ b=\ln\frac{5}{2}＜\ln e = 1$，$c=\log_{3}\frac{9}{10}＜\log_{3}1 = 0$，所以$a＞b＞c$.

例2 (2)设$a,b,c$均为正数，且$2^{a}=\log_{\frac{1}{2}}a$，$(\frac{1}{2})^{b}=\log_{\frac{1}{2}}b$，$(\frac{1}{2})^{c}=\log_{2}c$，则 ( )
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $c ＜ b ＜ a$
C. $c ＜ a ＜ b$
D. $b ＜ a ＜ c$

答案：
A 因为$a$，$b$，$c$均为正数，将$a$，$b$，$c$分别看成是函数图象的交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系内分别画出$y = 2^{x}$，$y = (\frac{1}{2})^{x}$，$y=\log_{2}x$，$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图象如图.
　　　
由图可知$a ＜ b ＜ c$.

角度2 解对数不等式
例3 设函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}x,x ＞ 0,\\\log_{\frac{1}{2}}(-x),x ＜ 0.\end{cases}$若$f(a)＞f(-a)$，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $(-1,0)\cup(0,1)$
B. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
C. $(-1,0)\cup(1,+\infty)$
D. $(-\infty,-1)\cup(0,1)$

答案： C 由题意可得$\begin{cases}a＞0\\\log_{2}a＞-\log_{2}a\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0\\\log_{\frac{1}{2}}(-a)＞\log_{2}(-a)\end{cases}$，解得$a＞1$或$-1 ＜ a ＜ 0$.

角度3 对数函数性质的综合应用
例4 (1)(2023·郑州模拟)设函数$f(x)=\ln|x + 3|+\ln|x - 3|$，则$f(x)$ ( )
A. 是偶函数，且在$(-\infty,-3)$上单调递减
B. 是奇函数，且在$(-3,3)$上单调递减
C. 是奇函数，且在$(3,+\infty)$上单调递增
D. 是偶函数，且在$(-3,3)$上单调递增

答案： A 函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq\pm3\}$，$f(x)=\ln|x + 3|+\ln|x - 3|=\ln|x^{2}-9|$，令$g(x)=|x^{2}-9|$，则$f(x)=\ln g(x)$，函数$g(x)$的单调区间由图象(图略)可知，当$x\in(-\infty,-3)$，$x\in(0,3)$时，$g(x)$单调递减，当$x\in(-3,0)$，$x\in(3,+\infty)$时，$g(x)$单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由$f(-x)=\ln|(-x)^{2}-9|=\ln|x^{2}-9|=f(x)$得$f(x)$为偶函数.

例4 (2)(2023·武汉模拟)函数$f(x)=\log_{a}(3 - 2ax)$在区间$[1,2]$上单调递增，则实数$a$的取值范围为 ( )
A. $(0,1)$
B. $(\frac{3}{4},1)$
C. $(0,\frac{3}{4})$
D. $(1,+\infty)$

答案： C 设$u(x)=3 - 2ax(a＞0且a\neq1)$，则$u(x)$是减函数，要使得函数$f(x)=\log_{a}(3 - 2ax)$在$[1,2]$上单调递增，只需$y=\log_{a}u$为减函数，且满足$u(x)=3 - 2ax＞0$在$x\in[1,2]$上恒成立，所以$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 1\\u(x)_{\min}=u(2)=3 - 4a＞0\end{cases}$，解得$0 ＜ a ＜\frac{3}{4}$，所以实数$a$的取值范围为$(0,\frac{3}{4})$.

例4 (3)(2023·惠州模拟)若函数$f(x)=\log_{a}(x^{2}-ax+\frac{1}{2})(a ＞ 0$，且$a\neq1)$有最小值，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 【解析】令$u(x)=x^{2}-ax+\frac{1}{2}=(x-\frac{a}{2})^{2}+\frac{1}{2}-\frac{a^{2}}{4}$，则$u(x)$有最小值$\frac{1}{2}-\frac{a^{2}}{4}$，欲使函数$f(x)=\log_{a}(x^{2}-ax+\frac{1}{2})$有最小值，则有$\begin{cases}a＞1\\\frac{1}{2}-\frac{a^{2}}{4}＞0\end{cases}$，解得$1 ＜ a ＜\sqrt{2}$，即实数$a$的取值范围为$(1,\sqrt{2})$.
答案：$(1,\sqrt{2})$