《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

已知数列${a_n}$的前n项和为$S_{n}$，$a_{n} = \begin{cases}n,n为奇数\\ (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{cases}$，求$S_n.$

答案： 【解析】方法一：当$n$为偶数时，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=(a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{n - 1})+(a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{n})=(1 + 3+\cdots +n - 1)+[(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+\cdots +(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}]=\frac{[1+(n - 1)]\cdot\frac{n}{2}}{2}+\frac{\frac{1}{2}[1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{n^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}$。
当$n$为奇数时，$n - 1$是偶数，
$S_{n}=S_{n - 1}+a_{n}=\frac{(n - 1)^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n - 1}{2}}+n=\frac{(n + 1)^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n - 1}{2}}$。
综上，$S_{n}=\begin{cases}\frac{(n + 1)^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n - 1}{2}},n为奇数\\\frac{n^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{cases}$。
方法二：因为$a_{n}=\begin{cases}n,n为奇数\\(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{cases}$，所以$a_{2n - 1}=2n - 1,a_{2n}=(\frac{1}{2})^{n}$，
所以$S_{2n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2n}=(a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2n - 1})+(a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{2n})=(1 + 3+\cdots +2n - 1)+[(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+\cdots +(\frac{1}{2})^{n}]=\frac{(1 + 2n - 1)\cdot n}{2}+\frac{\frac{1}{2}[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}=n^{2}+1 - (\frac{1}{2})^{n}$。
$S_{2n - 1}=S_{2n}-a_{2n}=n^{2}+1 - (\frac{1}{2})^{n}-(\frac{1}{2})^{n}=n^{2}+1 - (\frac{1}{2})^{n - 1}$。
综上所述，$S_{n}=\begin{cases}\frac{(n + 1)^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n - 1}{2}},n为奇数\\\frac{n^{2}}{4}+1 - (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}},n为偶数\end{cases}$。

已知数列${a_n}$是等差数列，它的前$n(n∈N^*)$项和为$S_n，$数列${b_n}$是等比数列，$b_n＞0，$$a_1 = 3，$$b_1 = 1，$$b_3 + S_2 = 12，$$a_5 - 2b_2 = a_3.$
(1)求数列${a_n}$和${b_n}$的通项公式；
(2)若$c_n $=$ \begin{cases}\frac{2}{S_n},n为奇数 \\ b_n,n为偶数\end{cases}$，设数列${c_n}$的前n项和为$T_n，$求$T_{2n}.$

答案： 【解析】
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，
则由$\begin{cases}b_{3}+S_{2}=12\\a_{5}-2b_{2}=a_{3}\end{cases}$，得$\begin{cases}q^{2}+6 + d=12\\3 + 4d-2q=3 + 2d\end{cases}$，
解得$\begin{cases}d = 2\\q = 2\end{cases}$或$\begin{cases}d=-3\\q=-3\end{cases}$（舍去），
所以$a_{n}=3 + 2(n - 1)=2n + 1,b_{n}=2^{n - 1}$。
(2)由$a_{1}=3,a_{n}=2n + 1$，得$S_{n}=n(n + 2)$，
则$c_{n}=\begin{cases}\frac{2}{n(n + 2)},n为奇数\\2^{n - 1},n为偶数\end{cases}$
即$c_{n}=\begin{cases}\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2},n为奇数\\2^{n - 1},n为偶数\end{cases}$
所以$T_{2n}=(c_{1}+c_{3}+\cdots +c_{2n - 1})+(c_{2}+c_{4}+\cdots +c_{2n})=[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]+(2 + 2^{3}+\cdots +2^{2n - 1})=1-\frac{1}{2n + 1}+\frac{2(1 - 4^{n})}{1 - 4}=\frac{1 + 2^{2n + 1}}{3}-\frac{1}{2n + 1}$。