《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

3. 共线向量定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数$\lambda$，使得____________.
微点拨：只有当a≠0时，定理中的实数$\lambda$才存在且唯一.

答案： $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a//b，则a与b方向相同或相反. ( )
(2)若a//b，b//c，则a//c. ( )
(3)若a = b，b = c，则a = c. ( )
(4)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等. ( )

答案： 1. 提示：
(1)若$\boldsymbol{a}=0$，零向量的方向任意，错误；
(2)取$\boldsymbol{b}=0$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，但$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$不一定平行，错误；
(3)$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}$，正确；
(4)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，错误.
答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×

2. (2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD = 2DA. 记$\overrightarrow{CA}=m$，$\overrightarrow{CD}=n$，则$\overrightarrow{CB}=$ ( )
A. 3m - 2n
B. -2m + 3n
C. 3m + 2n
D. 2m + 3n

答案：
2. B 如图，

因为$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$，即$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=3\boldsymbol{n}-2\boldsymbol{m}$.

3. (共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a，b，那么“a = $\lambda$b”是“|a + b| = |a| - |b|”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 3. B 由$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|$及向量的减法法则，可得向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$平行且反向，由$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$可得向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$平行，因此“$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$”是“$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|$”的必要充分条件.

4. (必修第二册P15练习T2·变条件)点C在线段AB上，且$\frac{AC}{CB}=\frac{5}{3}$，则$\overrightarrow{AC}=$____$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=$____$\overrightarrow{AB}$.

答案：
4.【解析】由已知画图如下，

由图形知$\overrightarrow{AC}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=-\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}$.
答案：$\frac{5}{8}$ $-\frac{3}{8}$

1. (2023·北京模拟)设a，b是非零向量，则“$\frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}$”是“a = b”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B 由$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$表示单位向量相等，则$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$同向，但不能确定它们的模是否相等，即不能推出$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$，由$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$表示$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$同向且模相等，则$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，所以“$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件.

2. 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，判断是否存在下列关系的向量：

①是共线向量的有______________；
②方向相反的向量有______________；
③模相等的向量有____________.

答案： 【解析】①$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{e}//\boldsymbol{b}$，故$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{e}$和$\boldsymbol{b}$是共线向量；②$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{e}$是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{d}$.
答案：①$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{e}$和$\boldsymbol{b}$ ②$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{d}$，$\boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{e}$ ③$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{d}$

3. 向量$\overrightarrow{AM}//\overrightarrow{AN}$，其中$\overrightarrow{AN}$是单位向量且|$\overrightarrow{AM}$| = 2|$\overrightarrow{AN}$|，则|$\overrightarrow{MN}$| = ____.

答案： 【解析】因为$\overrightarrow{AM}//\overrightarrow{AN}$，其中$\overrightarrow{AN}$是单位向量且$|\overrightarrow{AM}| = 2|\overrightarrow{AN}|$，则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$，①若$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AN}$，则$|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}| = |\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AN}| = |\overrightarrow{AN}| = 1$；②若$\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AN}$，则$|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AN}| = |3\overrightarrow{AN}| = 3|\overrightarrow{AN}| = 3$，因此，$|\overrightarrow{MN}| = 1$或 3.
答案：1 或 3