《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，$\overset{\frown}{NB}=2\overset{\frown}{AN}$，$\overset{\frown}{CM}=2\overset{\frown}{MD}$，AB = 2，BC = 3，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 (　　　)
A. $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D. $\frac{3\sqrt{30}}{20}$

答案：
因为NB=2AN，CM=2MD，AB为下底面圆直径，AB=2，所以AN=1，NB=√3。连接MN，由已知条件，得MN为圆柱的一条母线，以N为坐标原点，分别以直线NB,NA,NM为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Nxyz，
　　　　　　
　则N(0,0,0)，A(0,1,0)，M(0,0,3)，C(√3,0,3)，
　所以AM=(0,-1,3)，NC=(√3,0,3)，
　则cos＜AM,NC＞=-9/√10×√12=-3√30/20，
所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为3√30/20。

[例2](1)在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，已知异面直线A₁C与AD，A₁C与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线B₁D和平面A₁BC所成的角的余弦值为 (　　　)
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
(2)(2023·江门模拟)如图所示，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP//平面BOE.
①求$\frac{PE}{PC}$的值；
②若PO⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB = 2，∠BAD = 60°，求直线OE与平面PBC所成角的正弦值.

答案：

(1)A设AD=1，AB=a，AA1=c，
　则A1C=√(a² + 1 + c²)，
　由于AD//BC，所以异面直线A1C与AD所成角为∠A1CB=60°，从而A1C=2，
　由于AB//CD，所以异面直线A1C与AB所成角为∠A1CD=45°，从而A1C=√2a，所以c=1，a=√2，
　以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,√2,0)，C(0,√2,0)，B1(1,√2,1)，
B1D=(-1,-√2,-1)，A1B=(0,√2,-1)，
BC=(-1,0,0)，
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z)，
则{n·A1B=√2y - z = 0，n·BC=-x = 0，取n=(0,1,√2)，
所以直线B1D和平面A1BC所成的角的正弦值为|n·B1D|/|n||B1D|=|-√2 - √2|/√3×2=√6/3，
从而直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为√3/3。
(2)[解析]①连接AC与BO交于点F，
因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，
所以AO//BC，且AO=1/2BC，
所以AF=1/2FC。
因为AP//平面BOE，AP⊂平面APC，
平面APC∩平面BOE=EF，
所以AP//EF，
所以AF/FC=PE/EC=1/2，所以PE/PC=1/3；
②因为底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠BAD=60°，所以BO⊥AD。
因为OP⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以OP⊥AD，OP⊥BO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。
　　　　　
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-2,√3,0)。
设P(0,0,h)，h＞0，则PC=(-2,√3,-h)，
所以OE=OP+PE=OP+1/3PC=(-2/3,√3/3,2h/3)。
因为OE⊥PC，所以OE·PC=4/3 + 1 - 2h²/3=0，
解得h=√14/2。
所以OE=(-2/3,√3/3,√14/3)，BC=(-2,0,0)，
PB=(0,√3,-√14/2)。
设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量，
则{n·BC=0，n·PB=0，得{x = 0，√3y - √14/2z = 0，
取z=2√3，所以n=(0,√14,2√3)为平面PBC的一个法向量。
因为|cos＜n,OE＞|=|(√3/3)×√14+(√14/3)×2√3|/√(14 + 12)·√((-2/3)²+(√3/3)²+(√14/3)²)=3√13/13，
所以直线OE与平面PAC所成角的正弦值是3√13/13。

对点训练
(2023·东城区模拟)在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC = 90°，BC = CD = $\frac{1}{2}$AD = 1，E为线段AD的中点，PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
(1)求证：BE//FG；
(2)若PC与AB所成的角为$\frac{\pi}{4}$，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

答案：
[解析]
(1)因为E为线段AD的中点，且BC=1/2AD，所以DE=BC，
　又因为AD//BC，所以DE//BC，
　所以四边形BCDE为平行四边形，得BE //CD，
　因为CD⊂平面PDC，BE⊄平面PDC，
　所以BE//平面PDC，
　因为BE⊂平面BEGF，平面BEGF∩平面PDC=FG，
　所以BE//GF；
(2)由
(1)可得，BE//CD，
　因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°，且PE⊥平面ABCD，
　所以以E为坐标原点，分别以EA,EB,EP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
　　　　　
　设P(0,0,p)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,1,0)，PC=(-1,1,-p)，AB=(-1,1,0)，
　因为PC与AB所成的角为π/4，
　所以|cos＜PC,AB＞|=|PC·AB|/|PC|·|AB|=√2/2(p＞0)，
　解得p=√2。
　则P(0,0,√2)，F(-1/2,1/2,√2/2)，E(0,0,0)。
　PB=(0,1,-√2)，EB=(0,1,0)，EF=(-1/2,1/2,√2/2)。
　设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)。
　所以{n·EB=y = 0，n·EF=-1/2x + 1/2y + √2/2z = 0，
　取z=1，得n=(√2,0,1)。
　PB·n=-√2。
　设直线PB与平面BEF所成角为α，
　则sinα=|cos＜PB,n＞|=|PB·n|/|PB|·|n|=√2/3。
　即直线PB与平面BEF所成角的正弦值为√2/3。