《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

3. 集合的基本运算
|项目|集合的并集|集合的交集|集合的补集|
|----|----|----|----|
|符号表示|A∪B|A∩B|若全集为U，则集合A的补集为∁UA|
|图形表示||
|集合表示|{x|x∈A，或x∈B}|__________|{x|x∈U，且x∉A}|

答案： 3. {x|x∈A,且x∉B}

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 任何一个集合都至少有两个子集。( )
(2) {x|y = x² + 1} = {y|y = x² + 1} = {(x，y)|y = x² + 1}。( )
(3) 若{x²，1} = {0，1}，则x = 0。( )
(4) 对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立。( )

答案： 1. 提示:
(1)×.空集只有一个子集.
(2)×.{x|y = x² + 1}=R,{y|y = x² + 1}=[1,+∞),{(x,y)|y = x² + 1}是抛物线y = x² + 1上的点集.
(3)√.
(4)√.

2. (必修第一册P10例1变条件)已知集合A = {x|x² - 2x＜0}，集合B = {y|y = √(2 - x)}，则A∪B = ( )
A. (0，+∞) B. [0，2) C. (-∞，2] D. [0，+∞)

答案： 2. D 因为A = {x|x² - 2x ＜ 0}={x|0 ＜ x ＜ 2},B = {y|y = √(2 - x)}={y|y≥0},所以A∪B = [0,+∞).

3. (2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M = {-2，-1，0，1，2}，N = {x|x² - x - 6≥0}，则M∩N = ( )
A. {-2，-1，0，1} B. {0，1，2} C. {-2} D. 2

答案： 3. C 因为x² - x - 6≥0⇔(x - 3)(x + 2)≥0,所以N = (-∞,-2]∪[3,+∞),又因为M = {-2,-1,0,1,2},所以M∩N = {-2}.

4. (忽视空集致误)集合A = {x|ax = 1}，B = {y|y = √(x - 1)}且A∩B = A，则a的取值范围为 ( )
A. [0，+∞) B. (0，1] C. [1，+∞) D. (0，1)

答案： 4. A 由题意知A⊆B,而B = {y|y≥0},方程ax = 1,当a = 0时,方程无解,则A = ∅,符合题意;当a ＞ 0时,x = 1/a＞0,符合题意;当a ＜ 0时,x = 1/a＜0,不符合题意;所以a的取值范围为[0,+∞).

考点一 集合的基本概念
1. (2024·莆田模拟)设集合A = {x|x≥ - 1}，则下列四个关系中正确的是 ( )
A. 1∈A
B. 1∉A
C. {1}∈A
D. 1⊆A

答案： 1. A 由题意知,集合A = {x|x≥ - 1}表示所有不小于 - 1的实数组成的集合,所以1是集合中的元素,故1∈A.

2. 设集合A = {1，2，3}，B = {4，5}，M = {x|x = a + b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： 2. B a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M = {5,6,7,8},即M中元素的个数为4.

3. (2024·石家庄模拟)若{a²，0，-1} = {a，b，0}，则(ab)²⁰²⁴的值是 ( )
A. 0
B. 1
C. -1
D. ±1

答案： 3. B 因为{a²,0, - 1}={a,b,0},所以①{a² = a, - 1 = b}或②{a² = b, - 1 = a},由①得{a = 0,b = - 1}或{a = 1,b = - 1},其中{a = 0,b = - 1}与元素互异性矛盾,舍去,{a = 1,b = - 1}符合题意,由②得{b = 1,a = - 1},符合题意,两种情况代入(ab)²⁰²⁴ = (-1)²⁰²⁴ = 1,答案相同.

4. (多选题)若集合A = {x∈R|ax² - 3x + 2 = 0}中只有一个元素，则a的可能取值为 ( )
A. 9/2
B. 9/4
C. 0
D. 9/8

答案： 4. CD 若集合A中只有一个元素,则方程ax² - 3x + 2 = 0只有一个实根或两个相等实根.当a = 0时,x = 2/3,符合题意;当a≠0时,由Δ = (-3)² - 8a = 0,得a = 9/8,符合题意.综上a的值为0或9/8.

5. 已知集合A = {12，a² + 4a，a - 2}，且 - 3∈A，则a = __________。

答案： 5. [解析]因为 - 3∈A,所以 - 3 = a² + 4a或 - 3 = a - 2.若 - 3 = a² + 4a,解得a = - 1或a = - 3.当a = - 1时,a² + 4a = a - 2 = - 3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a = - 3时,集合A = {12, - 3, - 5},满足题意,故a = - 3成立.
复习导学案＞
若 - 3 = a - 2,解得a = - 1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,a = - 3.答案: - 3