《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

考点一 空间向量的线性运算
[例1]（1）（2023·武汉模拟）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且MN=$\frac{1}{3}$OM，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，则下列向量与$\overrightarrow{AN}$相等的向量是（ ）
A. -a+$\frac{1}{3}$b+$\frac{1}{3}$c
B. a+$\frac{1}{3}$b+$\frac{1}{3}$c
C. -a+$\frac{1}{6}$b+$\frac{1}{6}$c
D. a+$\frac{1}{6}$b+$\frac{1}{6}$c
　　　　　　　　　　　　　

答案： 答案:A 解析:因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN = $\frac{1}{3}$OM,
所以AN = ON - OA = $\frac{2}{3}$OM - OA = $\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$(OB + OC)-OA
= $\frac{1}{3}$OB + $\frac{1}{3}$OC - OA = - a + $\frac{1}{3}$b + $\frac{1}{3}$c.

（2）在三棱柱A1B1C1 - ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{A_1D}$等于（ ）
A. $\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$c
B. $\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$c
C. $\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$c
D. -$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$c
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 答案:D 解析:A₁D = A₁A + AB + BD
= - AA₁ + AB + $\frac{1}{2}$(BB₁ + BC)
= - AA₁ + AB + $\frac{1}{2}$AA₁ + $\frac{1}{2}$(AC - AB)
= - $\frac{1}{2}$AA₁ + $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AC = - $\frac{1}{2}$a + $\frac{1}{2}$b + $\frac{1}{2}$c.

对点训练
如图所示，在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，设$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
（1）$\overrightarrow{AP}$；
（2）$\overrightarrow{A_1N}$；
（3）$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NC_1}$.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解析】
(1)因为P是C₁D₁的中点,
所以AP = AA₁ + A₁D₁ + D₁P
= a + AD + $\frac{1}{2}$D₁C₁
= a + c + $\frac{1}{2}$AB = a + c + $\frac{1}{2}$b.
(2)因为N是BC的中点,
所以A₁N = A₁A + AB + BN
= - a + b + $\frac{1}{2}$BC
= - a + b + $\frac{1}{2}$AD = - a + b + $\frac{1}{2}$c.
(3)因为M是AA₁的中点,
所以MP = MA + AP = $\frac{1}{2}$A₁A + AP
= - $\frac{1}{2}$a + (a + c + $\frac{1}{2}$b)= $\frac{1}{2}$a + $\frac{1}{2}$b + c.
又NC₁ = NC + CC₁ = $\frac{1}{2}$BC + AA₁
= $\frac{1}{2}$AD + AA₁ = $\frac{1}{2}$c + a,
所以MP + NC₁
=($\frac{1}{2}$a + $\frac{1}{2}$b + c)+(a + $\frac{1}{2}$c)
= $\frac{3}{2}$a + $\frac{1}{2}$b + $\frac{3}{2}$c.

考点二 共线、共面向量的应用
[例2]（1）已知a=(λ + 1，0，2)，b=(6，2μ - 1，2λ)，若a//b，则λ与μ的值可以是（ ）
A. 2，$\frac{1}{2}$
B. -$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$
C. -3，2
D. 2，2

答案： 答案:A 解析:因为a//b,
所以设b = xa,所以$\begin{cases} x(\lambda + 1)=6 \\ 2\mu - 1 = 0 \\ 2x = 2\lambda \end{cases}$,
解得$\begin{cases} \mu = \frac{1}{2} \\ \lambda = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} \mu = \frac{1}{2} \\ \lambda = - 3 \end{cases}$.

（2）如图，已知四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=$\frac{1}{3}$AD，AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则$\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{AC_1}}$=__________.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解析】由题可设AM = λAC₁(0 ＜ λ ＜ 1),
因为AC₁ = AB + AD + AA₁
= 2AE + 3AF + $\frac{3}{2}$AG,
所以AM = 2λAE + 3λAF + $\frac{3}{2}$λAG,
因为M,E,F,G四点共面,
所以2λ + 3λ + $\frac{3}{2}$λ = 1,解得λ = $\frac{2}{13}$.
答案:$\frac{2}{13}$

（3）在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足$\overrightarrow{DP}=m\overrightarrow{DA}+n\overrightarrow{DM}+k\overrightarrow{DN}$，其中m，n，k∈R，且m + n + k = 1，则点P可以是正方体表面上__________的点.

答案：
【解析】因为点P满足DP = mDA + nDM + kDN,其中m,n,k∈R,且m + n + k = 1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB₁C₁C的中心,所以CN = B₁N,AM = MC,连接MN,AB₁,

则MN//AB₁,所以△AB₁C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB₁,B₁C,AC上的点.
答案:线段AB₁(线段B₁C或线段AC)上(答案不唯一)