《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例3]函数$y=\frac{2x}{x^2 + x + 1}$的值域为______.

答案： [解析]由$y=\frac{2x}{x^2 + x + 1}$得，$yx^2+(y - 2)x + y = 0$（※），则该方程有解，①当$y = 0$时，方程（※）可化为$-2x = 0$，方程有解，符合题意；②当$y\neq0$时，要使方程（※）有解，当且仅当$\Delta=(y - 2)^2 - 4y^2\geq0$，解得$-2\leq y\leq\frac{2}{3}$，且$y\neq0$.综上所述，$-2\leq y\leq\frac{2}{3}$，故原函数的值域是$[-2,\frac{2}{3}]$.答案：$[-2,\frac{2}{3}]$

[例4]若$x\geq\frac{5}{2}$，则函数$f(x)=\frac{x^2 - 4x + 5}{2x - 4}$的最小值为______.

答案： [解析]因为$x\geq\frac{5}{2}$，所以$x - 2＞0$，所以$f(x)=\frac{x^2 - 4x + 5}{2x - 4}=\frac{(x - 2)^2 + 1}{2(x - 2)}=\frac{x - 2}{2}+\frac{1}{2(x - 2)}\geq2\sqrt{\frac{x - 2}{2}\cdot\frac{1}{2(x - 2)}}=1$，当且仅当$\frac{x - 2}{2}=\frac{1}{2(x - 2)}$，即$x = 3$时等号成立.因为$x = 3$在定义域内，所以最小值为$1$.答案：$1$

[例5]（1）函数$y=\frac{3x + 4}{5x + 6}$的值域为______.

答案： （1）[解析]方法一（反解法）：$x=\frac{4 - 6y}{5y - 3}$，所以$y\neq\frac{3}{5}$.所以值域为$\{y|y\neq\frac{3}{5}\}$.方法二（分离常数法）：$y=\frac{\frac{3}{5}(5x + 6)+\frac{2}{5}}{5x + 6}=\frac{3}{5}+\frac{\frac{2}{5}}{5x + 6}\neq\frac{3}{5}$，故值域为$\{y|y\neq\frac{3}{5}\}$.答案：$\{y|y\neq\frac{3}{5}\}$

（2）函数$y=\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$的值域为______.

答案： （2）[解析]方法一（反解法）：由$y=\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}$，得$2^x=\frac{1 - y}{1 + y}＞0$，所以$(1 - y)(1 + y)＞0$，所以$(y - 1)(y + 1)＜0$.所以$-1＜y＜1$，所以值域为$(-1,1)$.方法二（分离常数法）：$y=\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}=-1+\frac{2}{1 + 2^x}$，因为$2^x＞0$，所以$1 + 2^x＞1$，$0＜\frac{2}{1 + 2^x}＜2$，$-1＜-1+\frac{2}{1 + 2^x}＜1$.所以值域为$(-1,1)$.答案：$(-1,1)$

（2）函数$y = x+\sqrt{4 - x^2}$的值域为______.

答案： （2）[解析]由$4 - x^2\geq0$，得$-2\leq x\leq2$，所以设$x = 2\cos\theta(\theta\in[0,\pi])$，则$y = 2\cos\theta+\sqrt{4 - 4\cos^2\theta}=2\cos\theta+2\sin\theta=2\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$.因为$\theta+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$，所以$\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，所以$y\in[-2,2\sqrt{2}]$.答案：$[-2,2\sqrt{2}]$

[例7]（1）函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2^x}$，$x\in[1,2]$的值域为______.

答案： （1）[解析]函数$y_1=\log_{\frac{1}{2}}x$，$y_2=\frac{1}{2^x}$均在$[1,2]$上单调递减，所以$y=\log_{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2^x}$在$[1,2]$上单调递减，所以$\log_{\frac{1}{2}}2+\frac{1}{2^2}\leq y\leq\log_{\frac{1}{2}}1+\frac{1}{2}$，即$-\frac{3}{4}\leq y\leq\frac{1}{2}$，所以函数的值域为$[-\frac{3}{4},\frac{1}{2}]$.答案：$[-\frac{3}{4},\frac{1}{2}]$

（2）函数$y = (\frac{1}{2})^{-x^2 + 2x}$的值域为______.

答案： （2）[解析]令$\mu=-x^2 + 2x$，所以$y=(\frac{1}{2})^{\mu}$.因为$\mu=-x^2 + 2x$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1,+\infty)$上单调递减.$y=(\frac{1}{2})^{\mu}$在定义域上是减函数，所以$y=(\frac{1}{2})^{-x^2 + 2x}$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，所以$y_{min}=\frac{1}{2}$，所以函数的值域为$[\frac{1}{2},+\infty)$.答案：$[\frac{1}{2},+\infty)$

（2）函数$f(x)=2x - 3-\sqrt{-x^2 + 6x - 8}$的值域为______.

答案：
（2）[解析]$f(x)=2x - 3-\sqrt{-x^2 + 6x - 8}=2x - 3-\sqrt{1-(x - 3)^2}$，由$-x^2 + 6x - 8\geq0$，解得$2\leq x\leq4$，令$t = 2x - 3-\sqrt{1-(x - 3)^2}$，即$\sqrt{1-(x - 3)^2}=2x - 3 - t$，将函数$f(x)=2x - 3-\sqrt{-x^2 + 6x - 8}$的值域转化为$y=\sqrt{1-(x - 3)^2}$与$y = 2x - 3 - t$有交点时$t$的取值范围，在同一坐标系中作函数$y=\sqrt{1-(x - 3)^2}$与$y = 2x - 3 - t$的图象如图所示： 由图象知：当直线$y = 2x - 3 - t$与半圆$(x - 3)^2 + y^2 = 1$相切时，$t$最小，此时$\frac{|3 - t|}{\sqrt{1 + 4}}=1$，解得$t = 3\pm\sqrt{5}$，由图象知$t = 3-\sqrt{5}$，当直线$y = 2x - 3 - t$过点$(4,0)$时，$t$最大，此时$t = 5$，所以$t\in[3-\sqrt{5},5]$，即$f(x)$的值域是$[3-\sqrt{5},5]$.答案：$[3-\sqrt{5},5]$