《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.(多选题)(2023·湖州模拟)函数$f(x)$的定义域为R，若$f(x + 1)$与$f(x - 1)$都是偶函数，则（ ）
A. $f(x)$是偶函数
B. $f(x)$是奇函数
C. $f(x + 3)$是偶函数
D. $f(x)=f(x + 4)$

答案： CD 因为f(x + 1)是偶函数，
所以f(-x + 1)=f(x + 1)，
从而f(-x)=f(x + 2).
因为f(x - 1)是偶函数，
所以f(-x - 1)=f(x - 1)，
从而f(-x)=f(x - 2)，
所以f(x + 2)=f(x - 2)，即f(x + 4)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.
因为f(-x - 1)=f(x - 1)，
所以f(-x - 1 + 4)=f(x - 1 + 4)，
即f(-x + 3)=f(x + 3)，
所以f(x + 3)是偶函数.

2.函数$y = f(x)$对任意$x\in R$都有$f(x + 2)=f(-x)$成立，且函数$y = f(x - 1)$的图象关于点$(1,0)$对称，$f(1)=4$，则$f(2020)+f(2021)+f(2022)$的值为________.

答案： 【解析】因为y = f(x - 1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y = f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，所以f
(0)=0.因为f(x + 2)=-f(x)，所以f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)，故f(x)的周期为4，所以f
(2021)=f(505×4 + 1)=f
(1)=4，f
(2020)=f
(0)=0，f
(2022)=f
(2)=-f
(0)=0，所以f
(2020)+f
(2021)+f
(2022)=4.
答案：4

[例3](1)(2023·拉萨模拟)已知函数$f(x)$的定义域为R，且$y = f(x + 1)$的图象关于点$(-1,0)$成中心对称.当$x＞0$时，$f(x)=\frac{3}{x + 1}$，则$f(-2)=$（ ）
A. 1 B. 3 C. - 1 D. - 3
(2)(多选题)已知定义域为R的函数$f(x)$满足$f(-x)+f(x)=0$，且$f(1 - x)=f(1 + x)$，则下列结论一定正确的是（ ）
A. $f(x + 2)=f(x)$
B. 函数$y = f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称
C. 函数$y = f(x + 1)$是偶函数
D. $f(2 - x)=f(x - 1)$

答案：
(1)C 因为将y = f(x + 1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y = f(x)的图象且y = f(x + 1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，所以y = f(x)的图象关于原点成中心对称，则y = f(x)在R上是奇函数，
所以f(-2)=-f
(2)=-$\frac{2}{2 + 1}$=-$\frac{2}{3}$.
(2)BC 对于A选项，因为f(-x)+f(x)=0，且f(1 - x)=f(1 + x)，则f(1-(1 + x))=f(1+(1 + x))，即f(x + 2)=-f(x)，A错；
对于B选项，因为f(x + 2)=-f(x)，所以f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)，
因为f(-x)+f(x)=0，所以f(-(2 + x))+f(2 + x)=0，
即f(2 + x)=-f(-2 - x)=-f(2 - x)，即f(2 + x)+f(2 - x)=0，
故函数y = f(x)的图象关于点(2，0)对称，B对；
对于C选项，因为f(1 - x)=f(1 + x)，所以函数y = f(x + 1)是偶函数，C对；
对于D选项，因为f(1 - x)=f(1 + x)，
所以f(1-(x - 1))=f(1+(x - 1))，
即f(2 - x)=f(x)≠f(x - 1)，D错.

已知函数$f(x)$是R上的偶函数，且$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=2 - 2^{x}$，则$f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(2024)$的值为（ ）
A. - 2
B. - 1
C. 0
D. 1

答案： D 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(-x)=-f(2 + x)，
又f(x)为R上的偶函数，
所以f(x)=f(-x)，
所以f(x + 2)=-f(-x)=-f(x)，
所以f(x + 4)=-f(x + 2)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，
所以f
(3)=f(-1)=f
(1)=2 - 2=0.
又f
(0)=1，f
(2)=-f
(0)=-1，
所以f
(0)+f
(1)+f
(2)+…+f
(2024)=506[f
(0)+f
(1)+f
(2)+f
(3)]+f
(2024)=506×(1 + 0 - 1 + 0)+f
(0)=1.

[例4](1)(2023·新乡模拟)定义在R上的函数$f(x)$满足$f(x + 2)= - f(x)$，且$f(x-\frac{1}{2})$为偶函数，当$x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$时，$f(x)=x^{3}$，则$f(2023)=$（ ）
A. 0 B. $\frac{1}{8}$ C. $-\frac{1}{8}$ D. 1
(2)(多选题)(2023·邯郸模拟)已知$f(x)$是定义在R上的函数，$f(x)-f(-x)=0$，且满足$f(x + 1)$为奇函数，当$x\in[0,1)$时，$f(x)=-\cos\frac{\pi x}{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(1)=0$
B. $f(x)$的周期为2
C. $f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称
D. $f(\frac{2023}{2})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1)A 因为f(x + 2)=-f(x)，
所以f(x)的周期为4.
又f(x-$\frac{1}{2}$)为偶函数，
所以f(x)的图象关于直线x = $\frac{1}{2}$对称，则f
(2023)=f(-1)=f
(0)=0.
(2)ACD 因为f(x + 1)为奇函数，
所以f(-x + 1)=-f(x + 1)，
所以f(-0 + 1)=-f(0 + 1)，
所以f
(1)=0，A正确；
因为当x∈[0，1)时，f(x)=-cos$\frac{\pi x}{2}$，
所以f
(0)=-cos 0=-1.
因为f(-x + 1)=-f(x + 1)，
所以f
(2)=-f
(0)=1，故f
(2)≠f
(0)，
所以2不是f(x)的周期，故B错误；
因为f(x + 1)为奇函数，
所以函数f(x + 1)的图象关于原点对称，
所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
由f(-x + 1)=-f(x + 1)，f(x)-f(-x)=0，可得f(x + 2)=-f(-x - 1 + 1)=-f(-x)=-f(x)，
所以f(x + 4)=f(x + 2 + 2)=-f(x + 2)=f(x)，
所以函数f(x)为周期函数，周期为4，
所以f($\frac{2023}{2}$)=f(4×253-$\frac{1}{2}$)=f(-$\frac{1}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)，
又当x∈[0，1)时，f(x)=-cos$\frac{\pi x}{2}$，
所以f($\frac{2023}{2}$)=-cos$\frac{\pi}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，D正确.

1.(多选题)已知定义在R上的奇函数$f(x)$满足$f(x + 2)= - f(x)$，且$f(x)$在$[-1,0]$上是增函数.则下列命题正确的是（ ）
A. $f(x)$是周期函数
B. $f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称
C. $f(x)$在$[1,2]$上是增函数
D. $f(2)=f(0)$

答案： 1.ABD 因为f(x + 2)=-f(x)，所以f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)，所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；
因为f(x + 2)=-f(x)，
所以f(-x + 2)=-f(-x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(2 - x)=f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x = 1对称，故B正确；
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f
(0)=0.因为f(x)在[-1，0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数.因为f(x)关于直线x = 1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数，故C错误；
因为f(x + 2)=-f(x)，令x = 0得f
(2)=-f
(0)=0，故D正确.

2.(多选题)已知$f(x)$是定义域为R的函数，满足$f(x + 1)=f(x - 3)$，$f(1 + x)=f(3 - x)$，当$0\leqslant x\leqslant2$时，$f(x)=x^{2}-x$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$的周期为4
B. $f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称
C. 当$0\leqslant x\leqslant4$时，函数$f(x)$的最大值为2
D. 当$6\leqslant x\leqslant8$时，函数$f(x)$的最小值为$-\frac{1}{2}$

答案： 2.ABC 对于A，因为f(x + 1)=f(x - 3)，所以f(x + 3 + 1)=f(x + 3 - 3)，则f(x)=f(x + 4)，即f(x)的周期为4，故A正确；
对于B，由f(1 + x)=f(3 - x)知，f(x)的图象关于直线x = 2对称，故B正确；
对于C，当0≤x≤2时，f(x)=x² - x在(0，$\frac{1}{2}$)上单调递减，在($\frac{1}{2}$，2)上单调递增，
根据对称性可知，函数f(x)在(0，$\frac{1}{2}$)，(2，$\frac{7}{2}$)上单调递减，在($\frac{1}{2}$，2)，($\frac{7}{2}$，4)上单调递增，则函数f(x)在[0，4]上的最大值为f
(2)=4 - 2=2，故C正确；
对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在(6，$\frac{15}{2}$)上单调递减，在($\frac{15}{2}$，8)上单调递增，则函数f(x)在[6，8]上的最小值为f($\frac{15}{2}$)=f(4+$\frac{7}{2}$)=f($\frac{7}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，故D错误.