《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.(思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切. ( )
(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离. ( )
(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立. ( )
(4)若两圆有公共点，则|r₁ - r₂|≤d≤r₁ + r₂. ( )

答案： 提示：
(1)√.直线与圆有一个公共点，则直线与圆相切，有两个公共点，则直线与圆相交，故
(1)正确；
@@提示：
(2)×.两圆没有公共点，则两圆外离或内含，故
(2)错误；
@@提示：
(3)×.若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点；若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，故
(3)错误；
@@提示：
(4)√.若两圆有公共点，则两圆外切或相交或内切，所以|r₁ - r₂|≤d≤r₁ + r₂，故
(4)正确.

2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O₁：x² + y² - 4y + 3 = 0和圆O₂：x² + y² - 16y = 0的位置关系是 ( )
A.外离
B.相交
C.相切
D.内含

答案： D O₁:(x - 0)²+(y - 2)² = 1，O₂:x²+(y - 8)² = 64，所以O₁(0,2)，r₁ = 1，O₂(0,8)，r₂ = 8，|O₁O₂| = √((0 - 0)²+(2 - 8)²) = 6，则|O₁O₂| = 6＜r₂ - r₁ = 7，所以两圆内含.

3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x - y + 3 = 0被圆(x + 2)² + (y - 2)² = 2截得的弦长等于 ( )
A.√6/2
B.√3
C.2√3
D.√6

答案： D 圆心(-2,2)到直线x - y + 3 = 0的距离d = √2/2，圆的半径r = √2，解直角三角形得，半弦长为√6/2，所以弦长等于√6.

4.(2022·天津高考)若直线x - y + m = 0(m＞0)与圆(x - 1)² + (y - 1)² = 3相交所得的弦长为m，则m = __________.

答案： 【解析】因为圆心C(1,1)到直线x - y + m = 0(m＞0)的距离d = m/√2，又直线与圆相交所得的弦长为m，所以m = 2√(r² - d²)，所以m² = 4(3 - m²/2)，解得m = 2.答案：2

5.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(√2，2)的圆C：x² + (y - 1)² = 2的切线方程为____________________.

答案： 【解析】由圆C方程知：圆心C(0,1)，半径r = √2；当过P的直线斜率不存在，即直线方程为x = √2时，直线与圆C相切；设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y - 2 = k(x - √2)，即kx - y - √2k + 2 = 0，则圆心C到直线的距离d = |1 - √2k|/√(k² + 1) = √2，即k = -√2/4，所以该切线方程为-√2/4x - y + 5/2 = 0，即x + 2√2y - 5√2 = 0；综上所述：所求切线方程为x = √2或x + 2√2y - 5√2 = 0.答案：x = √2或x + 2√2y - 5√2 = 0

角度1 直线与圆的位置关系的判断
[例1](1)(一题多法)已知圆C：x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0和直线l：kx - y + 3 - 4k = 0的位置关系是 ( )
A.相交、相切或相离
B.相交或相切
C.相交
D.相切

答案： C 圆C:x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0，即(x - 3)²+(y - 4)² = 2²，圆心为C(3,4)，半径为r = 2.方法一 直线l:kx - y + 3 - 4k = 0，即k(x - 4) - y + 3 = 0，所以直线l过定点B(4,3).(4 - 3)²+(3 - 4)² = 2＜4，所以点B(4,3)在圆C内，所以直线l与圆C相交.方法二 圆心C(3,4)到直线l:kx - y + 3 - 4k = 0的距离为|3k - 4 + 3 - 4k|/√(1 + k²) = |k + 1|/√(1 + k²) = √(k² + 2k + 1)/(1 + k²) = √(1 + 2k/(1 + k²))≤√2＜4，所以直线与圆相交.

(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax + by - r² = 0与圆C：x² + y² = r²，点A(a，b)，则下列说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

答案： ABD 圆心C(0,0)到直线l的距离d = r²/√(a² + b²)，若点A(a,b)在圆C上，则a² + b² = r²，所以d = r²/√(a² + b²) = r，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a² + b²＜r²，所以d = r²/√(a² + b²)＞r，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a² + b²＞r²，所以d = r²/√(a² + b²)＜r，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a² + b² = r²，即a² + b² = r²，所以d = r²/√(a² + b²) = r，则直线l与圆C相切，故D正确.

角度2 弦长问题
[例2](2024·昆明模拟)已知直线y = 2x与圆(x - 2)² + (y - 2)² = 1交于A，B两点，则|AB| = ( )
A.√5/5
B.2√5/5
C.3√5/5
D.4√5/5

答案： B 因为圆的方程为(x - 2)²+(y - 2)² = 1，所以圆心坐标为(2,2)，半径r = 1，则圆心(2,2)到直线y = 2x的距离d = |2×2 - 2|/√(2² + 1) = 2√5/5，所以弦长|AB| = 2√(r² - d²) = 2√(1 - 4/5) = 2√5/5.