《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)$\log_{2}x^{2}=2\log_{2}x$. ( )
(2)若$MN ＞ 0$，则$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$. ( )
(3)函数$y=\ln\frac{1 + x}{1 - x}$与$y=\ln(1 + x)-\ln(1 - x)$的定义域相同. ( )
(4)当$x ＞ 1$时，若$\log_{a}x＞\log_{b}x$，则$a ＜ b$. ( )

答案： 提示：
(1) $\log_{2}x^{2}=2\log_{2}|x|$. ×
(2) 当$M ＜ 0$, $N ＜ 0$时，虽然$MN＞0$，但$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$不成立. ×
(4) 若$0 ＜ b ＜ 1 ＜ a$，则当$x ＞ 1$时，$\log_{a}x＞\log_{b}x$. ×
答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×

2. (必修第一册P126练习T(2)改条件)计算：$2\lg\sqrt{5}-\lg4^{-\frac{1}{2}}=$ ( )
A. 10
B. 1
C. 2
D. $\lg5$

答案： B 原式$=\lg(\sqrt{5})^{2}+\lg\sqrt{4}=\lg5+\lg2=\lg10 = 1$.

3. (2022·浙江高考)已知$2^{a}=5$，$\log_{8}3 = b$，则$4^{a - 3b}=$ ( )
A. 25
B. 5
C. $\frac{25}{9}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： C 由$2^{a}=5$两边取以2为底的对数，得$a = \log_{2}5$. 又$b=\log_{8}3=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}8}=\frac{1}{3}\log_{2}3$，所以$a - 3b=\log_{2}5-\log_{2}3=\log_{2}\frac{5}{3}=\frac{\log_{4}\frac{5}{3}}{\log_{4}2}=2\log_{4}\frac{5}{3}=\log_{4}\frac{25}{9}$，所以$4^{a - 3b}=4^{\log_{4}\frac{25}{9}}=\frac{25}{9}$.

4. (忽视对数函数的单调性)函数$y=\log_{a}x(a ＞ 0,a\neq1)$在$[2,4]$上的最大值与最小值的差是1，则$a$的值为________.

答案： 【解析】当$a＞1$时，依题意得$\log_{a}4-\log_{a}2 = 1$，解得$a = 2$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，依题意得$\log_{a}2-\log_{a}4 = 1$，解得$a=\frac{1}{2}$.
答案：$2$或$\frac{1}{2}$

1. (多选题)(2024·宜昌模拟)下列各式化简运算结果为1的是 ( )
A. $\log_{5}3\times\log_{3}2\times\log_{2}5$
B. $\lg\sqrt{2}+\frac{1}{2}\lg5$
C. $\log_{\sqrt{a}}a^{2}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$
D. $\mathrm{e}^{\ln3}-0.125^{-\frac{1}{3}}$

答案： AD 对于A，原式$=\frac{\lg3}{\lg5}\times\frac{\lg2}{\lg3}\times\frac{\lg5}{\lg2}=1$；对于B，原式$=\frac{1}{2}\lg2+\frac{1}{2}\lg5=\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)=\frac{1}{2}$；对于C，原式$=2\log_{\sqrt{a}}a = 2\times2 = 4$；对于D，原式$=3 - 8^{\frac{1}{3}}=3 - 2 = 1$.

2. 计算：$\lg\frac{4\sqrt{2}}{7}-\lg8^{\frac{2}{3}}+\lg7\sqrt{5}=$________.

答案： 【解析】原式$=\lg4+\frac{1}{2}\lg2-\lg7-\frac{2}{3}\lg8+\lg7+\frac{1}{2}\lg5=2\lg2+\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)-2\lg2=\frac{1}{2}$.
答案：$\frac{1}{2}$

3. 计算：$\frac{(1-\log_{6}3)^{2}+\log_{6}2\cdot\log_{6}18}{\log_{6}4}=$________.

答案： 【解析】原式$=\frac{1 - 2\log_{6}3+(\log_{6}3)^{2}+\log_{6}\frac{6}{3}\cdot\log_{6}(6\times3)}{\log_{6}4}=\frac{1 - 2\log_{6}3+(\log_{6}3)^{2}+1 - (\log_{6}3)^{2}}{2\log_{6}2}=\frac{2(1 - \log_{6}3)}{2\log_{6}2}=\frac{\log_{6}2}{\log_{6}2}=1$.
答案：$1$

4. 若$2^{a}=3^{b}=m$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，则$m = $________.

答案： 【解析】因为$2^{a}=3^{b}=m$，所以$a=\log_{2}m$，$b=\log_{3}m$，$m＞0$，又$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_{2}m}+\frac{1}{\log_{3}m}=\log_{m}2+\log_{m}3=\log_{m}(2\times3)=2$，所以$m^{2}=6$，所以$m = \sqrt{6}$.
答案：$\sqrt{6}$

5. 已知$a ＞ b ＞ 1$，若$\log_{a}b+\log_{b}a=\frac{5}{2}$，$a^{b}=b^{a}$，则$a = $________，$b = $________.

答案： 【解析】设$\log_{b}a=t$，则$t＞1$，因为$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$，所以$t = 2$，则$a = b^{2}$. 又$a^{b}=b^{a}$，所以$b^{2b}=b^{b^{2}}$，即$2b = b^{2}$，又$a＞b＞1$，解得$b = 2$，$a = 4$.
答案：$4$ $2$

6. 叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，是有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此用来除甲醛基本上立竿见影. 经研究发现，叶广泥除甲醛的量$Q$与叶广泥的质量$m$的关系是$Q = 2\log_{2}\frac{m}{10}$，当除甲醛的量为8个单位时，其质量$m$为________个单位.

答案： 【解析】由题意得$8 = 2\log_{2}\frac{m}{10}$，所以$\log_{2}\frac{m}{10}=4$，即$2^{4}=\frac{m}{10}$，所以$m = 2^{4}\times10 = 160$.
答案：$160$