《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.如图，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB\perp$平面$BCC_{1}B_{1}$，$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AA_{1}=2$，$BC_{1}=2\sqrt{3}$，M为线段AB上的动点.
(1)证明：$BC_{1}\perp CM$；
(2)若E为$A_{1}C_{1}$的中点，求点$A_{1}$到平面BCE的距离.

答案：
【解析】
(1)因为AB⊥平面BB₁C₁C,C₁B⊂平面BB₁C₁C,所以AB⊥C₁B,
在△BCC₁中,BC = 2,BC₁ = 2√3,CC₁ = AA₁ = 4,
所以BC²+BC₁² = CC₁²,所以CB⊥C₁B.
因为AB∩BC = B,AB,BC⊂平面ABC,
所以C₁B⊥平面ABC.
又因为CM⊂平面ABC,
所以C₁B⊥CM.
(2)由
(1)知,AB⊥C₁B,BC⊥C₁B,AB⊥BC,以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则B(0,0,0),C(2,0,0),C₁(0,2√3,0),A₁(-2,2√3,4),E(-1,2√3,2),
BC→=(2,0,0),BE→=(-1,2√3,2),
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),
则{n·BC→=0,n·BE→=0,即{2x = 0,-x + 2√3y + 2z = 0,
令y =√3,则n=(0,√3,-3).
又因为A₁C→=(4,-2√3,-4),
故点A₁到平面BCE的距离
d=|0×4+(-2√3)×√3+(-4)×(-3)|/(2√3) =√3.

2.如图，在四棱锥$O - ABCD$中，底面ABCD是边长为2的正方形，$OA\perp$底面ABCD，$OA = 2$，M，N，R分别是$OA$，$BC$，$AD$的中点.求：
(1)直线MN与平面OCD的距离；
(2)平面MNR与平面OCD的距离.

答案：
【解析】
(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以OA⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,
以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(2,0,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR//OD,因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR//平面OCD,
因为AD//BC且AD = BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN//RD且CN = RD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN//CD,
因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN//平面OCD,
因为MR∩RN = R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR//平面OCD,
因为MN⊂平面MNR,所以MN//平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),DC→=(2,0,0),DO→=(0,-2,2),
则{n·DC→=2x = 0,n·DO→=-2y + 2z = 0,取y = 1,可得n=(0,1,1),NC→=(0,1,0),
所以,直线MN与平面OCD的距离为d₁=|NC→·n|/|n| =1/√2 =√2/2.
(2)由
(1)知平面MNR//平面OCD,则平面MNR与平面OCD的距离为d₂=|NC→·n|/|n| =1/√2 =√2/2.

[例3](1)在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 1$，$BC = 2$，$AA_{1}=3$，则异面直线AC与$BC_{1}$之间的距离是 ( )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$ B.$\frac{\sqrt{7}}{7}$ C.$\frac{\sqrt{6}}{6}$ D.$\frac{6}{7}$
(2)长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = AA_{1}=2$，$AD = 1$，E为$CC_{1}$的中点，则异面直线$BC_{1}$与AE之间的距离是 ( )
A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{\sqrt{21}}{21}$ C.$\frac{2}{3}$ D.$\frac{2\sqrt{21}}{21}$

答案：

(1)D 以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,

则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C₁(0,1,3),
所以CA→=(2,-1,0),BC₁→=(-2,0,3),
设CA和BC₁的公垂线的方向向量为n=(x,y,z),
则有{n·CA→=0,n·BC₁→=0,即{2x - y = 0,-2x + 3z = 0,不妨取x = 3,
所以n=(3,6,2),又AB→=(0,1,0),
所以异面直线AC与BC₁之间的距离
d=|AB→·n|/|n| =6/√3²+6²+2² =6/7.
(2)D 如图,连接AD₁,由长方体的结构特征可知,AB//C₁D₁,AB = C₁D₁,

则四边形ABC₁D₁为平行四边形,得BC₁//AD₁,
因为AD₁⊂平面AD₁E,BC₁⊄平面AD₁E,
所以BC₁//平面AD₁E,
则异面直线BC₁与AE之间的距离即为BC₁到平面AD₁E的距离,也就是B点到平面AD₁E的距离,
以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD₁所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),E(0,2,1),D₁(0,0,2),B(1,2,0),
AD₁→=(-1,0,2),AE→=(-1,2,1),AB→=(0,2,0),
设平面AD₁E的一个法向量为n=(x,y,z),
则{n·AD₁→=-x + 2z = 0,n·AE→=-x + 2y + z = 0,
取z = 1,得n=(2,1/2,1),
所以B点到平面AD₁E的距离
d=|n·AB→|/|n| =(1/2×2)/√4 + 1/4+1 =1/√21/2 =2√21/21.