《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (多选题)下列导数的运算中错误的是( )
A. $(3^{x})^{\prime}=3^{x}\ln 3$
B. $(x^{2}\ln x)^{\prime}=2x\ln x + x$
C. $(\frac{\cos x}{x})^{\prime}=\frac{x\sin x-\cos x}{x^{2}}$
D. $(\sin x\cos x)^{\prime}=\cos 2x$

答案： 1. C 因为$(\frac{\cos x}{x})'=\frac{-x\sin x-\cos x}{x^{2}}$，所以C项错误，其余运算都正确

2. 已知$f(x)=\cos 2x+\mathrm{e}^{2x}$，则$f^{\prime}(x)=$( )
A. $-2\sin 2x + 2\mathrm{e}^{2x}$ B. $\sin 2x+\mathrm{e}^{2x}$
C. $2\sin 2x + 2\mathrm{e}^{2x}$ D. $-\sin 2x+\mathrm{e}^{2x}$

答案： 2. A $f'(x)=-2\sin2x + 2e^{2x}$

3. (2023·济南模拟)已知$f(x)=2x\ln x - f^{\prime}(1)x$，则$f(\mathrm{e})=$( )
A. $\mathrm{e}$ B. 0 C. $-\mathrm{e}$ D. -1

答案： 3. A $f'(x)=2\ln x + 2 - 1$，令$x = 1$，得$f'(1)=2\ln1+2 - 1 = 1$，解得$f'(1)=1$，
所以$f(x)=2x\ln x - x$，$f(e)=2e\ln e - e = e$

4. 求下列函数的导数.
(1)$y=(3x^{3}-4x)(2x + 1)$；
(2)$y=x^{2}\sin x$；
(3)$y=\ln\sqrt{1 + x^{2}}$；
(4)$y=\frac{\cos x}{\mathrm{e}^{x}}$.

答案： 4.【解析】
(1)方法一：$y=(3x^{3}-4x)(2x + 1)=6x^{4}+3x^{3}-8x^{2}-4x$，
所以$y'=24x^{3}+9x^{2}-16x - 4$
方法二：$y'=(3x^{3}-4x)'(2x + 1)+(3x^{3}-4x)(2x + 1)'=(9x^{2}-4)(2x + 1)+(3x^{3}-4x)\cdot2=24x^{3}+9x^{2}-16x - 4$
(2)$y'=(x^{2})'\sin x+x^{2}(\sin x)'=2x\sin x+x^{2}\cos x$
(3)$y'=\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}\cdot(\sqrt{1 + x^{2}})'=\frac{x}{1 + x^{2}}$
(4)$y'=(\frac{\cos x}{e^{x}})'=\frac{(\cos x)'e^{x}-\cos x(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}=\frac{-\sin x-\cos x}{e^{x}}$

[例1](1)金榜原创·易错对对碰
已知曲线$f(x)=x^{3}-4x^{2}+5x - 4$.
①曲线在点$(2,f(2))$处的切线方程为______；
②曲线过点$(2,f(2))$的切线方程为______.
(2)(2023·临沂模拟)函数$f(x)=x\ln(-x)$，则曲线$y = f(x)$在$x = -\mathrm{e}$处的切线方程为______.
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线$y=\ln|x|$过坐标原点的两条切线的方程分别为______，______.

答案： [例1]
(1)【解析】①因为$f'(x)=3x^{2}-8x + 5$，
所以$f'(2)=1$，
又$f(2)=-2$，所以曲线$f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程为$y-(-2)=x - 2$，
即$x - y - 4 = 0$
答案：$x - y - 4 = 0$
②设切点坐标为$(x_{0},x_{0}^{3}-4x_{0}^{2}+5x_{0}-4)$，
因为$f'(x_{0})=3x_{0}^{2}-8x_{0}+5$，
所以切线方程为$y-(-2)=(3x_{0}^{2}-8x_{0}+5)(x - 2)$，
又切线过点$(x_{0},x_{0}^{3}-4x_{0}^{2}+5x_{0}-4)$，
所以$x_{0}^{3}-4x_{0}^{2}+5x_{0}-2=(3x_{0}^{2}-8x_{0}+5)\cdot(x_{0}-2)$，
整理得$(x_{0}-2)^{2}(x_{0}-1)=0$，
解得$x_{0}=2$或$x_{0}=1$，
所以经过点$(2,-2)$的曲线$f(x)$的切线方程为$x - y - 4 = 0$或$y + 2 = 0$
答案：$x - y - 4 = 0$或$y + 2 = 0$
(2)【解析】易得切点为$(-e,-e)$，
$f'(x)=\ln(-x)+1$，则$f'(-e)=2$，
所以切线方程为$y-(-e)=2(x + e)$，
即$2x - y + e = 0$
答案：$2x - y + e = 0$
(3)【解析】因为$y=\ln|x|$，当$x\gt0$时$y=\ln x$，设切点为$(x_{0},\ln x_{0})$，由$y'=\frac{1}{x}$，
所以$y'|_{x = x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$，所以切线方程为$y-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x - x_{0})$，
又切线过坐标原点，所以$-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}(-x_{0})$，
解得$x_{0}=e$，所以切线方程为$y - 1=\frac{1}{e}(x - e)$，即$y=\frac{1}{e}x$；
当$x\lt0$时$y=\ln(-x)$，
设切点为$(x_{1},\ln(-x_{1}))$，由$y'=\frac{1}{x}$，
所以$y'|_{x = x_{1}}=\frac{1}{x_{1}}$，
所以切线方程为$y-\ln(-x_{1})=\frac{1}{x_{1}}(x - x_{1})$，
又切线过坐标原点，
所以$-\ln(-x_{1})=\frac{1}{x_{1}}(-x_{1})$，解得$x_{1}=-e$，
所以切线方程为$y - 1=\frac{1}{-e}(x + e)$，
即$y=-\frac{1}{e}x$
答案：$y=\frac{1}{e}x$，$y=-\frac{1}{e}x$

[例2](1)已知曲线$y=\frac{x^{2}}{2}-3\ln x$的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. $\frac{1}{2}$
(2)(2023·贵阳模拟)设函数$f(x)=x^{3}+(a - 1)x^{2}+ax$，若$f(x)$为奇函数，且曲线$y = f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x + y = 0$垂直，则切点$P(x_0,f(x_0))$的坐标为______.

答案： [例2]
(1)A 设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，且$x_{0}\gt0$，
由$y'=x-\frac{3}{x}$，得切线斜率$k=x_{0}-\frac{3}{x_{0}}=2$，所以$x_{0}=3$
(2)【解析】因为$f(x)=x^{3}+(a - 1)x^{2}+ax$，所以$f'(x)=3x^{2}+2(a - 1)x + a$，又$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$恒成立，即$-x^{3}+(a - 1)x^{2}-ax=-x^{3}-(a - 1)x^{2}-ax$恒成立，
所以$a = 1$，$f'(x)=3x^{2}+1$，令$3x_{0}^{2}+1 = 1$，得$x_{0}=0$，$f(x_{0})=0$，所以切点$P(x_{0},f(x_{0}))$的坐标为$(0,0)$
答案：$(0,0)$