《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1. 如图，已知$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量$\overrightarrow{MN}=$ ( )

A. b - 2a
B. $\frac{b + a}{2}$
C. $\frac{b - a}{2}$
D. 2(b - a)

答案： D 由题设及题图知：$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}$且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$，所以$\overrightarrow{MN}=2(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$.

2. (2023·赣州模拟)如图，平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且AF = 2FE，记$a=\overrightarrow{AB}$，$b=\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{BF}=$ ( )

A. $\frac{1}{3}a-\frac{2}{3}b$
B. $-\frac{1}{4}a+\frac{2}{3}b$
C. $-\frac{5}{8}a+\frac{1}{3}b$
D. $-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b$

答案： D 因为在平行四边形$ABCD$中，$E$是$BC$的中点，$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FE}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，所以$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BE}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BE}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$.

3. (2023·北京模拟)在平行四边形ABCD中，点P满足$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，若$\overrightarrow{PD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}$，则$\lambda + \mu$的值是____.

答案：
【解析】由$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$得出点$P$为$BC$的中点，在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，所以$\lambda=-1$，$\mu=\frac{1}{2}$，则$\lambda+\mu=-\frac{1}{2}$.

答案：$-\frac{1}{2}$

考点三 向量共线定理及其应用
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设$e_1$，$e_2$是两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB}=2e_1 - ke_2$，$\overrightarrow{CB}=e_1 + 3e_2$，$\overrightarrow{CD}=2e_1 - e_2$，若三点A，B，D共线，则k的值为 ( )
A. -8
B. 8
C. 6
D. -6
(2)(2023·青岛模拟)如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{NC}$，P是BN上一点，若$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，则实数t的值为____.

答案：
(1)B 解法一(方程组法)：由已知得$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}-(2\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=-\boldsymbol{e}_{1}+4\boldsymbol{e}_{2}$，因为三点$A$，$B$，$D$共线，所以存在唯一实数$\lambda$使$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DB}$，所以$2\boldsymbol{e}_{1}-k\boldsymbol{e}_{2}=\lambda(-\boldsymbol{e}_{1}+4\boldsymbol{e}_{2})=-\lambda\boldsymbol{e}_{1}+4\lambda\boldsymbol{e}_{2}$，所以$\begin{cases}2 = -\lambda\\-k = 4\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=-2\\k = 8\end{cases}$.
解法二(比例法)：由已知得$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}-(2\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=-\boldsymbol{e}_{1}+4\boldsymbol{e}_{2}$，因为三点$A$，$B$，$D$共线，所以$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DB}$，所以$\frac{2}{-1}=\frac{-k}{4}$，解得$k = 8$.
(2)【解析】由题意，$P$是$BN$上一点，设$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BN}$，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\lambda(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB})=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AN}$，又$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{NC}$，所以$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AP}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\lambda\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以$\begin{cases}1 - \lambda = t\\\frac{2}{3}\lambda=\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$t=\frac{1}{4}$.
答案：$\frac{1}{4}$

对点训练
1. (2023·青岛模拟)已知a，b是不共线的向量，且$\overrightarrow{AB}=-2a + 8b$，$\overrightarrow{BC}=3a - 3b$，$\overrightarrow{CD}=a + 5b$，则 ( )
A. B，C，D三点共线
B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线
D. A，B，D三点共线

答案： 1. C 因为$\overrightarrow{AB}=-2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=3\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{a}+10\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=4\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，若$B$，$C$，$D$三点共线，则$\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{BD}$，即$\begin{cases}3 = 4\lambda\\-3 = 2\lambda\end{cases}$，无解，故 A 错误；若$A$，$B$，$C$三点共线，则$\overrightarrow{AB}=\mu\overrightarrow{AC}$，即$\begin{cases}-2=\mu\\8 = 5\mu\end{cases}$，无解，故 B 错误；若$A$，$C$，$D$三点共线，则$\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AD}$，即$\begin{cases}1 = 2m\\5 = 10m\end{cases}$，解得$m=\frac{1}{2}$，故 C 正确；若$A$，$B$，$D$三点共线，则$\overrightarrow{AB}=n\overrightarrow{AD}$，即$\begin{cases}-2 = 2n\\8 = 10n\end{cases}$，无解，故 D 错误.

2. (2023·珠海模拟)在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点P满足$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AP}$，若存在实数m和n，使得$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则m + n = ( )
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $-\frac{2}{3}$

答案： 2. D 由题意，$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AC}$，且$0\lt\lambda\lt1$，而$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AP}=3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP})$，所以$3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{BP}=\frac{\lambda - 3}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1 - \lambda}{3}\overrightarrow{AC}$，由已知，$\begin{cases}m=\frac{\lambda - 3}{3}\\n=\frac{1 - \lambda}{3}\end{cases}$，则$m + n=-\frac{2}{3}$.

3. (2023·深圳模拟)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka + 2b与8a + kb的方向相反，则k = ____.

答案： 【解析】因为向量$k\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$与$8\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$的方向相反，所以存在$\lambda(\lambda\lt0)$，使得$k\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=\lambda(8\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})$，又$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个不共线的非零向量，所以$\begin{cases}k = 8\lambda\\2 = k\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-4\\\lambda=-\frac{1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}k = 4\\\lambda=\frac{1}{2}\end{cases}$(舍去).
答案：$-4$