《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1](1)(多选题)(2024·天水模拟)椭圆以$x$轴和$y$轴为对称轴，经过点$(2,0)$，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A.$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
B.$\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$
C.$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$
D.$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$

答案： AC 设长轴长为$2a$，短轴长为$2b$，
因为长轴长是短轴长的$2$倍，则$2a = 2\times2b$，即$a = 2b$，
又因为椭圆经过点$(2,0)$，则有：
若椭圆的焦点在$x$轴上，可知$a = 2$，$b = 1$，椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$；
若椭圆的焦点在$y$轴上，可知$a = 4$，$b = 2$，椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$.
综上所述：
椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$或$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1$.

(2)(2024·南昌模拟)已知椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，焦点是$(-3,0)$，$(3,0)$，则椭圆方程为（ ）
A.$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$
B.$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{27}=1$
C.$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$
D.$\frac{x^{2}}{27}-\frac{y^{2}}{36}=1$

答案： A 由椭圆的焦点是$(-3,0)$，$(3,0)$，得椭圆的半焦距$c = 3$，由离心率为$\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即$a = 6$，
因此椭圆的短半轴$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$，所以椭圆方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$.

对点训练
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在$x$轴上，长轴的长为12，离心率为$\frac{2}{3}$；
(2)经过点$P(-6,0)$和$Q(0,8)$.

答案： [解析]
(1)由已知，$2a = 12$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，得：$a = 6$，$c = 4$，从而$b^{2}=a^{2}-c^{2}=20$.
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$.
(2)由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点$P$，$Q$分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有$b = 6$，$a = 8$.
又短轴、长轴分别在$x$轴和$y$轴上，所以椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{64}+\frac{x^{2}}{36}=1$.

[例2](1)(2024·湛江模拟)若椭圆$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}(a＞b＞0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，上顶点为$B$，若$\angle ABF = 90^{\circ}$，则椭圆的离心率为（ ）
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

答案： B 由$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}(a＞b＞0)$，得$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，
由题意可得：$AF^{2}=AB^{2}+BF^{2}$，所以$(a + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+a^{2}$，
因为$a^{2}+2ac + c^{2}=2a^{2}+a^{2}-c^{2}\Rightarrow e^{2}+e - 1 = 0$. 所以$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值舍去).

(2)(2024·成都模拟)已知$F_{1},F_{2}$是椭圆的两个焦点，满足$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}} = 0$的点$M$总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
B.$(0,\frac{1}{2}]$
C.$(0,1)$
D.$[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案：
A 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为$a$，$b$，$c$，
因为$\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}=0\Rightarrow\overrightarrow{MF_1}\perp\overrightarrow{MF_2}$，
所以$M$点的轨迹是以原点$O$为圆心，半焦距$c$为半径的圆，
又$M$点总在椭圆内部，
所以该圆内含于椭圆，即$c ＜ b$，$c^{2}＜b^{2}=a^{2}-c^{2}$，
$2c^{2}＜a^{2}$，所以$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}＜\frac{1}{2}$，所以$0＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$.

[例3](1)已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别为$B,C$，$A$为椭圆上的一点（不在$x$轴上），则$\triangle ABC$面积的最大值是（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3

答案： B 由椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的方程可得$a^{2}=25$，$b^{2}=16$，所以可得$c^{2}=a^{2}-b^{2}=25 - 16 = 9$，可得$c = 3$，可得焦距$\vert BC\vert = 6$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\vert BC\vert\cdot\vert y_A\vert\leqslant\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$.

(2)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，点$P$是椭圆$C$上的动点，$m = |PF_{1}|$，$n = |PF_{2}|$，则$\frac{4m + n}{mn}$的最小值为（ ）
A.$\frac{9}{8}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{20 - 3\sqrt{7}}{9}$
D.$\frac{20 + 3\sqrt{7}}{9}$

答案： A 因为点$P$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$上的动点，$m=\vert PF_1\vert$，$n=\vert PF_2\vert$，所以$m + n = 2a = 8$，所以$\frac{4m + n}{mn}=\frac{4}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{8}(\frac{4}{n}+\frac{1}{m})\cdot(m + n)=\frac{1}{8}[5+\frac{4m}{n}+\frac{n}{m}]\geqslant\frac{1}{8}[5 + 2\sqrt{\frac{4m}{n}\cdot\frac{n}{m}}]=\frac{9}{8}$，当且仅当$\frac{4m}{n}=\frac{n}{m}$，即$m=\frac{8}{3}$，$n=\frac{16}{3}$时，等号成立.