《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1]判断下列函数的奇偶性.
(1)$f(x)=x^3-\frac{1}{x}$；
(2)$f(x)=\sqrt{x^2 - 1}+\sqrt{1 - x^2}$；
(3)$f(x)=x^2-|x| + 1,x\in[-1,4]$；
(4)$f(x)=\begin{cases}-x^2 + 2x + 1,x＞0,\\x^2 + 2x - 1,x＜0\end{cases}$；
(5)$f(x)=(x - 1)\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}},x\in(-1,1)$.

答案：
[例1]【解析】
(1)函数的定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个$x$都有$f(-x)=(-x)^{3}-\frac{1}{-x}=-(x^{3}-\frac{1}{x})=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数.
(2)$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称.又$f(-1)=f(1)=0$，$f(-1)=-f(1)=0$，所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(3)因为$f(x)=x^{2}-|x| + 1$，$x\in[-1,4]$的定义域不关于原点对称，所以$f(x)$是非奇非偶函数.
(4)方法一(定义法)：
当$x\gt0$时，$f(x)=-x^{2}+2x + 1$，$-x\lt0$，$f(-x)=(-x)^{2}+2(-x)-1=x^{2}-2x - 1=-f(x)$；
当$x\lt0$时，$f(x)=x^{2}+2x - 1$，$-x\gt0$，$f(-x)=-(-x)^{2}+2(-x)+1=-x^{2}-2x + 1=-f(x)$.
所以$f(x)$为奇函数.
方法二(图象法)：
作出函数$f(x)$的图象，

由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数$f(x)$为奇函数.
(5)已知$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，关于原点对称.因为$f(x)=(x - 1)\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}=-\sqrt{(1 - x)(1 + x)}$，所以$f(-x)=-\sqrt{(1 + x)(1 - x)}=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数.

对点训练
1. (多选题)下列命题中正确的是 ( )
A. 奇函数的图象一定过坐标原点
B. 函数$y = x\sin x$是偶函数
C. 函数$y = |x + 1|-|x - 1|$是奇函数
D. 函数$y=\frac{x^2 - x}{x - 1}$是奇函数

答案： 1. BC 对于A，只有奇函数在$x = 0$处有意义时，函数的图象过原点，所以A不正确；
对于B，因为函数$y = x\sin x$的定义域为$\mathbf{R}$且$f(-x)=(-x)\sin(-x)=f(x)$，所以该函数为偶函数，所以B正确；
对于C，函数$y = |x + 1|-|x - 1|$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且满足$f(-x)=|-x + 1|-|-x - 1|=-(|x + 1|-|x - 1|)=-f(x)$，即$f(-x)=-f(x)$，所以函数为奇函数，所以C正确；
对于D，函数$y=\frac{x^{2}-x}{x - 1}$满足$x - 1\neq0$，即$x\neq1$，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确.

2. 已知函数$f(x)=\sin x,g(x)=e^x + e^{-x}$，则下列结论正确的是 ( )
A. $f(x)g(x)$是偶函数
B. $|f(x)|g(x)$是奇函数
C. $f(x)|g(x)|$是奇函数
D. $|f(x)g(x)|$是奇函数

答案： 2. C 选项A，$f(x)g(x)=(e^{x}+e^{-x})\sin x$，$f(-x)g(-x)=(e^{-x}+e^{x})\sin(-x)=-(e^{x}+e^{-x})\sin x=-f(x)g(x)$，是奇函数，结论错误；
选项B，$|f(x)|g(x)=|\sin x|(e^{x}+e^{-x})$，$|f(-x)|g(-x)=|\sin(-x)|(e^{-x}+e^{x})=|\sin x|(e^{x}+e^{-x})=|f(x)|g(x)$，是偶函数，结论错误；
选项C，$f(x)|g(x)|=|e^{x}+e^{-x}|\sin x$，$f(-x)|g(-x)|=|e^{-x}+e^{x}|\sin(-x)=-|e^{x}+e^{-x}|\sin x=-f(x)|g(x)|$，是奇函数，结论正确；
选项D，$|f(x)g(x)|=|(e^{x}+e^{-x})\sin x|$，$|f(-x)g(-x)|=|(e^{-x}+e^{x})\sin(-x)|=|(e^{x}+e^{-x})\sin x|=|f(x)g(x)|$，是偶函数，结论错误.

[例2](1)(2023·海南模拟)已知函数$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，且$f(x)-g(x)=e^x$，则$\frac{f(1)}{g(1)}=$ ( )
A. $\frac{e^2 + 1}{e}$
B. $\frac{e^2 - 1}{e}$
C. $\frac{1 - e^2}{1 + e^2}$
D. $\frac{1 + e^2}{1 - e^2}$
(2)设$f(x)$为奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=e^x - 1$，则当$x＜0$时，$f(x)=$ ( )
A. $e^{-x}-1$
B. $e^{-x}+1$
C. $-e^{-x}-1$
D. $-e^{-x}+1$

答案： [例2]
(1)C 根据题意，$f(x)-g(x)=e^{x}$，则$f(1)-g(1)=e$①，$f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$，变形可得$f(1)+g(1)=-\frac{1}{e}$②，联立①②可得，$f(1)=\frac{e-\frac{1}{e}}{2}$，$g(1)=-\frac{e+\frac{1}{e}}{2}$，则有$\frac{f(1)}{g(1)}=\frac{\frac{e-\frac{1}{e}}{2}}{-\frac{e+\frac{1}{e}}{2}}=\frac{1 - e^{2}}{1 + e^{2}}$.
(2)D 依题意得，当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(x)=-f(-x)=-(e^{-x}-1)=-e^{-x}+1$.

[例3](1)函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(2)=0$. 则不等式$\frac{f(x)-2f(-x)}{x}＞0$的解集为 ( )
A. $(-2,2)$
B. $(-\infty,0)\cup(0,2)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
(2)已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则满足$f(2x - 1)＜f(\frac{1}{3})$的$x$的取值范围是________.

答案：
[例3]
(1)D 因为$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，所以$f(0)=0$，又$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(2)=0$，所以$f(x)$的大致图象如图所示.

由$f(-x)=-f(x)$可得，$\frac{f(x)-2f(-x)}{x}=\frac{f(x)+2f(x)}{x}=\frac{3f(x)}{x}\gt0$，因为$x$在分母位置，所以$x\neq0$.
当$x\lt0$时，只需$f(x)\lt0$，由图象可知$x\lt - 2$；
当$x\gt0$时，只需$f(x)\gt0$，由图象可知$x\gt2$.
综上，不等式的解集为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$.
(2)【解析】因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)=f(|x|)$，所以$f(2x - 1)\lt f(\frac{1}{3})$即$f(|2x - 1|)\lt f(\frac{1}{3})$.
又$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$|2x - 1|\lt\frac{1}{3}$，解得$\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{2}{3}$.
答案：$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$