《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

类型一 判断复合函数零点的个数
[例1]已知函数f(x)= $\begin{cases}\ln x - \frac{1}{x},x＞0\\x² + 2x,x\leqslant0\end{cases}$，则函数y = f[f(x)+1]的零点个数是 (　　　)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案：
[例1]D 令$t = f(x)+1=\begin{cases}\ln x-\frac{1}{x}+1,x＞0,\\(x + 1)^{2},x\leqslant0\end{cases}$，当$t＞0$时，$f(t)=\ln t-\frac{1}{t}$，则函数$f(t)$在$(0,+\infty)$上单调递增，因为$f(1)= - 1＜0$，$f(2)=\ln 2-\frac{1}{2}＞0$，所以由函数零点存在定理可知，存在$t_{1}\in(1,2)$，使得$f(t_{1})=0$；当$t\leqslant0$时，$f(t)=t^{2}+2t$，由$f(t)=t^{2}+2t = 0$，解得$t_{2}=-2,t_{3}=0$.作出函数$t = f(x)+1$的图象，直线$t = t_{1},t=-2,t = 0$如图所示， 由图象可知，直线$t = t_{1}$与函数$t = f(x)+1$的图象有两个交点；直线$t = 0$与函数$t = f(x)+1$的图象有两个交点；直线$t=-2$与函数$t = f(x)+1$的图象有且只有一个交点.综上，函数$y = f[f(x)+1]$的零点个数为5.

对点训练
已知f(x)= $\begin{cases}|\lg x|,x＞0\\2^{|x|},x\leqslant0\end{cases}$，则函数y = 2[f(x)]² - 3f(x)+1的零点个数是________.

答案：
【解析】由$2[f(x)]^{2}-3f(x)+1 = 0$得$f(x)=\frac{1}{2}$或$f(x)=1$，作出函数$y = f(x)$的图象. 由图象知$y=\frac{1}{2}$与$y = f(x)$的图象有2个交点，$y = 1$与$y = f(x)$的图象有3个交点.因此函数$y = 2[f(x)]^{2}-3f(x)+1$的零点有5个.
答案：5

类型二 由复合函数零点情况求参数
[例2]已知函数f(x)= $\begin{cases}kx + 3,x\geqslant0\\(\frac{1}{2})^x,x＜0\end{cases}$，若方程f(f(x)) - 2 = 0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是 (　　　)
A.[0,+∞)
B.[1,3]
C.(-1,-$\frac{1}{3}$]
D.[-1,-$\frac{1}{3}$]

答案：
[例2]C 因为$f(f(x))-2 = 0$，所以$f(f(x))=2$，所以$f(x)= - 1$或$f(x)=-\frac{1}{k}(k\neq0)$.

(ⅰ)当$k = 0$时，作出函数$f(x)$的图象如图①所示，由图象可知$f(x)= - 1$无解，所以$k = 0$不符合题意；
(ⅱ)当$k＞0$时，作出函数$f(x)$的图象如图②所示，由图象可知$f(x)= - 1$无解且$f(x)=-\frac{1}{k}$无解，即$f(f(x))-2 = 0$无解，不符合题意；
(ⅲ)当$k＜0$时，作出函数$f(x)$的图象如图③所示，由图象可知$f(x)= - 1$有1个实根，因为$f(f(x))-2 = 0$有3个实根，所以$f(x)=-\frac{1}{k}$有2个实根，所以$1＜-\frac{1}{k}\leqslant3$，解得$-1＜k\leqslant-\frac{1}{3}$.
综上，k的取值范围是$(-1,-\frac{1}{3}]$.

对点训练
已知函数f(x)= - x² - 2x，g(x)= $\begin{cases}x + \frac{1}{4x},x＞0\\x + 1,x\leqslant0\end{cases}$，若方程g(f(x)) - a = 0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.

答案：
【解析】令$f(x)=t(t＜1)$，则原方程化为$g(t)=a$，易知方程$f(x)=t$在$t\in(-\infty,1)$时有2个不同的解，则原方程有4个不同的实数根等价于函数$y = g(t)(t＜1)$与$y = a$的图象有2个不同的交点，作出函数$y = g(t)(t＜1)$的图象如图， 由图象可知，当$1\leqslant a＜\frac{5}{4}$时，函数$y = g(t)(t＜1)$与$y = a$有2个不同的交点，即所求a的取值范围是$[1,\frac{5}{4})$.
答案：$[1,\frac{5}{4})$