《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 当$x\in(0,+\infty)$时，函数$y = |f(x)|$与$y = f(|x|)$的图象相同。 ( )
(2) 函数$y = af(x)$与$y = f(ax)(a＞0且a\neq1)$的图象相同。 ( )
(3) 函数$y = f(x)$与$y = -f(x)$的图象关于原点对称。 ( )
(4) 函数$y = \lg x$的图象关于$x = 3$对称的图象对应的函数是$y = \lg(6 - x)$。 ( )

答案： 提示:
(1)令$f(x)=-x$，当$x\in(0,+\infty)$时，$y = |f(x)| = x$，$y = f(|x|)= -x$，两者图象不同.
(2)当$a\neq1$时，$y = af(x)$与$y = f(ax)$是由$y = f(x)$分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同.
(3)$y = f(x)$与$y=-f(x)$的图象关于$x$轴对称.
答案:
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√

2. (必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数$y = f(x)$的图象，则图②中的图象对应的函数可能是 ( )

A. $y = f(|x|)$
B. $y = |f(x)|$
C. $y = f(-|x|)$
D. $y = -f(-|x|)$

答案： C　因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数$y = f(x)$的图象在$y$轴右侧的部分，然后将$y$轴左侧图象翻折到$y$轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是$y = f(-|x|)$.

3. (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间$[-3,3]$的大致图象，则该函数是 ( )

A. $y=\frac{-x^{3}+3x}{x^{2}+1}$
B. $y=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+1}$
C. $y=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}$
D. $y=\frac{2\sin x}{x^{2}+1}$

答案： A　设$f(x)=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+1}$，则$f(1)=0$，故排除B；设$h(x)=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$0＜\cos x＜1$，所以$h(x)=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}＜\frac{2x}{x^{2}+1}\leq1$，故排除C；设$g(x)=\frac{2\sin x}{x^{2}+1}$，则$g(3)=\frac{2\sin3}{10}＞0$，故排除D.

4. (看不懂图象导致错误)若关于x的方程$|x| = a - x$只有一个解，则实数a的取值范围是________。

答案：
[解析]由题意$a = |x|+x$，令$y = |x|+x=\begin{cases}2x,x＞0\\0,x\leq0\end{cases}$，图象如图所示，故要使$a = |x|+x$只有一解，则$a＞0$，即实数$a$的取值范围是$(0,+\infty)$.
　　　　　
答案:$(0,+\infty)$