《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1. 某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图），水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$） （ ）

A. 0.58米
B. 0.87米
C. 1.17米
D. 1.73米

答案：
1. B 如图设横断面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E，∠BAD = ∠ABC = 120°， 要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB + BC + AD)×100 = 30 000，解得AB + BC + AD = 3米，设BC = x，则AB = 3 - 2x，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$x，故CD = 3 - x，且0 ＜ x ＜ $\frac{3}{2}$，梯形ABCD的面积S=$\frac{(3 - 2x + 3 - x)×\frac{\sqrt{3}}{2}x}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$(-x^2 + 2x)，当x = 1时，S_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，此时BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.

2.（2023·朔州模拟）2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F遥十四运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空. 火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级$d(x)$（单位：dB）与声强$x$（单位：W/m²）满足$d(x)=10\lg\frac{x}{10^{-12}}$. 若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为$10^{9}$，则火箭发射时的声强级约为 （ ）
A. 130 dB
B. 140 dB
C. 150 dB
D. 160 dB

答案： 2. B 设与人交谈时的声强为x_1，则火箭发射时的声强为10^9x_1，则50 = 10lg$\frac{x_1}{10^{-12}}$，解得：x_1 = 10^(- 7)，则火箭发射时的声强为10^9×10^(- 7)=10^2，将其代入d(x)=10lg$\frac{x}{10^{-12}}$中，得d(10^2)=10lg$\frac{10^2}{10^{-12}}$=140 dB，故火箭发射时的声强级约为140 dB.