《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1]（1）（2023·绥化模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$a\cos A = b\cos B = c\cos C$，则△ABC的形状是 （ ）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 三边比为1:2:3的三角形

答案： B 因为$a\cos A = b\cos B$，由正弦定理可得$\sin A\cos A=\sin B\cos B$，即$\sin 2A=\sin 2B$.因为$A$，$B$为三角形的内角，所以$2A = 2B$或$2A + 2B=\pi$，即$A = B$或$A + B=\frac{\pi}{2}$，同理可得$B = C$或$B + C=\frac{\pi}{2}$.当$A = B$时，$B + C=\frac{\pi}{2}$不可能成立(三角形内角和不等于$\pi$)；当$B = C$时，$A + B=\frac{\pi}{2}$不可能成立；当$A + B=\frac{\pi}{2}$时，$B + C=\frac{\pi}{2}$也不可能成立，所以只有$A = B = C$，即$\triangle ABC$为等边三角形.

（2）（2023·重庆模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{a - b + c}{c}=\frac{b}{a + b - c}$.
①求A；
②若$b - c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，证明：△ABC是直角三角形.

答案： [解析]①由$\frac{a - b + c}{c}=\frac{b}{a + b - c}$整理可得，$bc=b^{2}+c^{2}-a^{2}$，由余弦定理可得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，又$0 ＜ A ＜ \pi$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.②由$b - c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$及正弦定理可得，$\sin B-\sin C=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin A=\frac{1}{2}$，所以$\sin B-\sin(\frac{2\pi}{3}-B)=\sin B-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\frac{1}{2}\sin B=\frac{1}{2}\sin B-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B=\sin(B-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$，因为$B\in(0,\frac{2\pi}{3})$，所以$B-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$，所以$B-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$，所以$B=\frac{\pi}{2}$，即$\triangle ABC$是直角三角形.

1. 在△ABC中，$\sin A=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{4}{13}$，则该三角形是 （ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 无法判断

答案： A 根据题意，$\sin B=\frac{3\sqrt{17}}{13}＞\frac{4}{5}=\sin A$，于是$B ＞ A$，从而$A$，$B$为锐角.又$\sin A=\frac{4}{5}＞\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4}$，于是$A + B＞2A＞\frac{\pi}{2}$，因此$C$为锐角，所以$\triangle ABC$为锐角三角形.

2.（多选题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$c^{2}-a^{2}+b^{2}=(4ac - 2bc)\cos A$，则 （ ）
A. △ABC一定为直角三角形
B. △ABC可能为等腰三角形
C. 角A可能为直角
D. 角A可能为钝角

答案： BC 由余弦定理可得$2bc\cos A=(4ac - 2bc)\cos A$，化简可得$bc\cos A=(2a - b)\cos A$.当$\cos A = 0$时，$A = 90^{\circ}$，此时$\triangle ABC$为直角三角形；当$\cos A\neq0$时，可得$b = 2a - b$，即$a = b$，此时$\triangle ABC$为等腰三角形，$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{c^{2}}{2bc}＞0$，所以$B$，$C$选项正确.

[例2]（1）（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为$\sqrt{3}$，$B = 60^{\circ}$，$a^{2}+c^{2}=3ac$，则$b =$__________.

答案： [解析]由题意得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{3}}{4}ac=\sqrt{3}$，则$ac = 4$，所以$a^{2}+c^{2}=3ac = 3\times4 = 12$，所以$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B = 12 - 2\times4\times\frac{1}{2}=8$，则$b = 2\sqrt{2}$.答案:$2\sqrt{2}$