《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例1] (1)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 1$的图象的对称轴是直线$x = 1$，并且图象过点$P(-1,7)$，则$a$，$b$的值分别是 ( )
A. 2，4
B. -2，4
C. 2，-4
D. -2，-4

答案： C 因为$y = ax^{2}+bx + 1$的图象的对称轴是直线$x = 1$，所以$-\frac{b}{2a}=1$①，又图象过点$P(-1,7)$，所以$a - b + 1 = 7$，即$a - b = 6$②，联立①②解得$a = 2$，$b=-4$.

(2) (一题多法)已知二次函数$f(x)$满足$f(2)= -1$，$f(-1)= -1$，且$f(x)$的最大值是8，则$f(x)$的解析式为__________________.

答案： 【解析】解法一(利用一般式)：
设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$.
由题意得$\begin{cases}4a + 2b + c=-1\\a - b + c=-1\\\frac{4ac - b^{2}}{4a}=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-4\\b = 4\\c = 7\end{cases}$
所以所求二次函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$.
解法二(利用顶点式)：
设$f(x)=a(x - m)^{2}+n(a\neq0)$.
因为$f(2)=f(-1)$，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}$.
所以$m=\frac{1}{2}$.
又根据题意函数有最大值 8，所以$n = 8$.
所以$f(x)=a(x-\frac{1}{2})^{2}+8$.
因为$f(2)=-1$，所以$a(2-\frac{1}{2})^{2}+8=-1$，解得$a=-4$，所以$f(x)=-4(x-\frac{1}{2})^{2}+8=-4x^{2}+4x + 7$.
解法三(利用两根式)：
由已知$f(x)+1 = 0$的两根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$，故可设$f(x)+1=a(x - 2)(x + 1)(a\neq0)$，即$f(x)=ax^{2}-ax - 2a - 1$.
又函数$f(x)$有最大值 8，即$\frac{4a(-2a - 1)-a^{2}}{4a}=8$，解得$a=-4$或$a = 0$(舍去).
所以所求二次函数的解析式为$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$.
答案：$f(x)=-4x^{2}+4x + 7$

(3) 设二次函数$f(x)$满足$f(x - 2)=f(-x - 2)$，且$f(x)$的图象与$y$轴交点的纵坐标为1，被$x$轴截得的线段长为$2\sqrt{2}$，则$f(x)$的解析式为________________，$f(2)=$________.

答案： 【解析】设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$.
由$f(x - 2)=f(-x - 2)$，得$4a - b = 0$①.
设$f(x)$的图象与$x$轴交点的横坐标为$x_{1}$，$x_{2}$，由$|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}=2\sqrt{2}$，所以$b^{2}-4ac=8a^{2}$②. 由已知得$c = 1$③. 由①②③解得$b = 2$，$a=\frac{1}{2}$，$c = 1$，所以$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+2x + 1$，所以$f(2)=\frac{1}{2}\times2^{2}+2\times2 + 1=2 + 4 + 1 = 7$.
答案：$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+2x + 1$ 7

对点训练
1. 已知$f(x)$是二次函数，且满足$f(0)=1$，$f(x + 1)-f(x)=2x$，则函数$f(x)$的解析式为__________________.

答案： 【解析】由题意，设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，因为$f(0)=1$，即$c = 1$，所以$f(x)=ax^{2}+bx + 1$，所以$f(x + 1)-f(x)=[a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1]-(ax^{2}+bx + 1)=2ax + a + b = 2x$，从而有$\begin{cases}2a = 2\\a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-1\end{cases}$，所以$f(x)=x^{2}-x + 1$.
答案：$f(x)=x^{2}-x + 1$

2. (2023·长沙雅礼中学模拟)已知函数$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象关于$y$轴对称，且与直线$y = x$相切，则满足上述条件的函数$f(x)=$__________.(写一个即可)

答案： 【解析】已知$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，因为$f(x)$的图象关于$y$轴对称，所以对称轴$x=-\frac{b}{2a}=0$，所以$b = 0$，所以$f(x)=ax^{2}+c$，联立$\begin{cases}y = ax^{2}+c\\y = x\end{cases}$整理得$ax^{2}-x + c = 0$，因为$f(x)$的图象与直线$y = x$相切，所以$\Delta=1 - 4ac = 0$，所以$ac=\frac{1}{4}$，当$a = 1$时，$c=\frac{1}{4}$. 所以满足条件的二次函数可以为$f(x)=x^{2}+\frac{1}{4}$.
答案：$x^{2}+\frac{1}{4}$(答案不唯一)

角度1 二次函数图象的识别
[例2] 设$abc＞0$，则二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$ 的图象可能是 ( )

答案： D 因为$abc＞0$，二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$，那么可知，在 A 中，$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$，不符合题意；在 B 中，$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，不符合题意；在 C 中，$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，不符合题意；在 D 中，$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，符合题意.

角度2 二次函数的单调性及最值
[例3] (1) (2023·济南模拟)若二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c(a＜0)$满足$f(1)=f(3)$，则下列不等式成立的是 ( )
A. $f(1)＜f(4)＜f(2)$
B. $f(4)＜f(1)＜f(2)$
C. $f(4)＜f(2)＜f(1)$
D. $f(2)＜f(4)＜f(1)$

答案： B 因为$f(1)=f(3)$，所以二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = 2$，又因为$a＜0$，所以$f(4)＜f(3)＜f(2)$，又$f(1)=f(3)$，所以$f(4)＜f(1)＜f(2)$.

(2) 已知函数$f(x)=x^{2}+(2a - 1)x - 3$，若函数$f(x)$在$[-1,3]$上的最大值为1，则实数$a$的值为____________________.

答案： 【解析】函数$f(x)$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{2a - 1}{2}$.
当$-\frac{2a - 1}{2}\leqslant1$，即$a\geqslant-\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(3)=6a + 3$，所以$6a + 3 = 1$，即$a=-\frac{1}{3}$，满足题意；
当$-\frac{2a - 1}{2}＞1$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f(x)_{\max}=f(-1)=-2a - 1$，所以$-2a - 1 = 1$，即$a=-1$，满足题意.
综上可知，$a=-\frac{1}{3}$或$-1$.
答案：$-\frac{1}{3}$或$-1$

(3) 已知$f(x)=ax^{2}-2x(0\leqslant x\leqslant1)$，求$f(x)$的最小值.

答案： 【解析】①当$a = 0$时，$f(x)=-2x$在$[0,1]$上单调递减，所以$f(x)_{\min}=f(1)=-2$.
②当$a＞0$时，$f(x)=ax^{2}-2x$的图象开口向上，且对称轴为直线$x=\frac{1}{a}$.
当$\frac{1}{a}＜1$，即$a＞1$时，$f(x)=ax^{2}-2x$图象的对称轴在$[0,1]$内，所以$f(x)$在$[0,\frac{1}{a}]$上单调递减，在$[\frac{1}{a},1]$上单调递增. 所以$f(x)_{\min}=f(\frac{1}{a})=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}=-\frac{1}{a}$.
当$\frac{1}{a}\geqslant1$，即$0 ＜ a\leqslant1$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减. 所以$f(x)_{\min}=f(1)=a - 2$.
③当$a＜0$时，$f(x)=ax^{2}-2x$的图象开口向下，且对称轴为直线$x=\frac{1}{a}＜0$，在$[0,1]$的左侧，所以$f(x)=ax^{2}-2x$在$[0,1]$上单调递减. 所以$f(x)_{\min}=f(1)=a - 2$.
综上所述，$f(x)_{\min}=\begin{cases}a - 2,a\leqslant1\\-\frac{1}{a},a＞1\end{cases}$.